For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.

Nakafa
Materi belajar gratis.

Untukmu

Mata pelajaran
Try out
Tanya Nina

Jelajahi

Al Quran
Politik

Bilangan Kompleks

Sifat Argumen Utama Bilangan Kompleks

Sifat Argumen pada Operasi Bilangan Kompleks

Bagaimana argumen berperilaku ketika bilangan kompleks dikalikan atau dibagi?

Sifat-sifat ini sangat berguna, terutama saat bekerja dengan bentuk polar atau eksponensial.

Misalkan kita punya dua bilangan kompleks:

z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)

Sifat Argumen Utama Bilangan KompleksPahami aturan argumen utama untuk perkalian dan pembagian bilangan kompleks dalam bentuk polar dengan penyesuaian rentang dan latihan terpecahkan.

Pada halaman ini

Sifat Argumen pada Operasi Bilangan Kompleks
- Argumen Hasil Kali
- Argumen Hasil Bagi
Penggunaan Sifat Argumen
Latihan
- Kunci Jawaban

Komentar

z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)

Di mana $\theta_1$ adalah salah satu argumen dari $z_1$ dan $\theta_2$ adalah salah satu argumen dari $z_2$ .

Argumen Hasil Kali

Argumen dari hasil kali dua bilangan kompleks ( $z_1 \times z_2$ ) adalah jumlah dari argumen masing-masing bilangan kompleks.

Secara matematis, hubungan antara himpunan argumennya adalah:

\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)

Ini berarti jika $\theta_1$ adalah argumen $z_1$ dan $\theta_2$ adalah argumen $z_2$ ,

maka $\theta_1 + \theta_2$ adalah salah satu argumen dari $z_1 z_2$ .

Untuk mencari Argumen Utama $\text{Arg}(z_1 z_2)$ :

Hitung $\text{Arg}(z_1) + \text{Arg}(z_2)$ .
Jika hasilnya sudah berada dalam rentang $[0^\circ, 360^\circ)$ (atau $[0, 2\pi)$ ), itulah Argumen Utamanya.
Jika hasilnya di luar rentang, tambahkan atau kurangkan kelipatan $\theta_1$ (atau $2\pi$ ) agar masuk ke dalam rentang tersebut.

Argumen Hasil Bagi

Argumen dari hasil bagi dua bilangan kompleks ( $\theta_2$ , dengan $z_2 \neq 0$ ) adalah selisih dari argumen bilangan kompleks pembilang ( $z_1$ ) dikurangi argumen bilangan kompleks penyebut ( $z_2$ ).

Hubungan antara himpunan argumennya:

\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)

Ini berarti jika $\theta_1$ adalah argumen $z_1$ dan $\theta_2$ adalah argumen $z_2$ ,

maka $\theta_1 - \theta_2$ adalah salah satu argumen dari $\frac{z_1}{z_2}$ .

Untuk mencari Argumen Utama $\text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)$ :

Hitung $\text{Arg}(z_1) - \text{Arg}(z_2)$ .
Jika hasilnya sudah berada dalam rentang $[0^\circ, 360^\circ)$ (atau $[0, 2\pi)$ ), itulah Argumen Utamanya.
Jika hasilnya di luar rentang, tambahkan atau kurangkan kelipatan $360^\circ$ (atau $2\pi$ ) agar masuk ke dalam rentang tersebut.

Penggunaan Sifat Argumen

Diberikan dua bilangan kompleks:

z_1 = 2(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)

Tentukan Argumen Utama dari $z_1 \times z_2$ dan $\frac{z_1}{z_2}$ .

Penyelesaian:

Kita tahu Argumen Utama dari masing-masing adalah:

\text{Arg}(z_1) = 45^\circ

Argumen Hasil Kali ( $z_1 \times z_2$ ):

Jumlah Argumen Utama:

$\text{Arg}(z_1) + \text{Arg}(z_2) = 45^\circ + 95^\circ = 140^\circ$

Karena $140^\circ$ sudah berada dalam rentang $[0^\circ, 360^\circ)$ , maka:

$\text{Arg}(z_1 \times z_2) = 140^\circ$

Himpunan semua argumennya adalah $\{140^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$
Argumen Hasil Bagi ( $\frac{z_1}{z_2}$ ):

Selisih Argumen Utama:

$\text{Arg}(z_1) - \text{Arg}(z_2) = 45^\circ - 95^\circ = -50^\circ$

Latihan

Diketahui $z_a = 4(\cos 120^\circ + i\sin 120^\circ)$ dan $z_b = 2(\cos 50^\circ + i\sin 50^\circ)$ . Tentukan:

$\text{Arg}(z_a \times z_b)$
$\text{Arg}\left(\frac{z_a}{z_b}\right)$

Kunci Jawaban

Diketahui $\text{Arg}(z_a) = 120^\circ$ dan $\text{Arg}(z_b) = 50^\circ$ .

Argumen Hasil Kali:

$\text{Arg}(z_a) + \text{Arg}(z_b) = 120^\circ + 50^\circ = 170^\circ$

Karena $170^\circ \in [0^\circ, 360^\circ)$ , maka $\text{Arg}(z_a z_b) = 170^\circ$ .
Argumen Hasil Bagi:

$\text{Arg}(z_a) - \text{Arg}(z_b) = 120^\circ - 50^\circ = 70^\circ$

Sifat Perkalian Bilangan Kompleks

Perkalian Skalar Bilangan Kompleks

Karena $-50^\circ$ berada di luar rentang $[0^\circ, 360^\circ)$ , kita perlu menambahkan $360^\circ$ :

-50^\circ + 360^\circ = 310^\circ

Maka:

\text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = 310^\circ

Himpunan semua argumennya adalah $\{-50^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$ , yang sama dengan $\{310^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$ .

Karena $70^\circ \in [0^\circ, 360^\circ)$ , maka $\text{Arg}\left(\frac{z_a}{z_b}\right) = 70^\circ$ .