Busur

Busur sebagai Bagian dari Keliling Lingkaran

Busur lingkaran adalah bagian keliling di antara dua titik pada lingkaran. Potongan tali yang diletakkan tepat mengikuti tepi lingkaran dapat menjadi modelnya. Dua titik pada sebuah lingkaran selalu menentukan dua busur di antara keduanya.

Setiap busur memiliki dua ujung pada lingkaran. Pada lingkaran yang tetap, panjangnya bergantung pada besar sudut pusat yang membentangnya: sudut pusat yang lebih besar menghasilkan busur yang lebih panjang.

Jenis Busur Berdasarkan Ukuran

Berdasarkan besar sudut pusat yang membentangnya, busur lingkaran dapat dibedakan menjadi tiga jenis:

1. Busur Kecil adalah busur yang sudut pusatnya kurang dari $180^\circ$. Busur ini merupakan bagian yang lebih pendek dari dua kemungkinan busur yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.

2. Busur Besar adalah busur yang sudut pusatnya lebih dari $180^\circ$. Busur ini merupakan bagian yang lebih panjang dari dua kemungkinan busur yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.

3. Busur Setengah Lingkaran adalah busur yang sudut pusatnya tepat $180^\circ$. Kedua ujungnya membagi keliling menjadi dua busur yang sama panjang.

Rumus Panjang Busur

Panjang busur dapat dihitung menggunakan perbandingan antara sudut pusat dengan sudut penuh lingkaran. Karena keliling penuh lingkaran adalah $2\pi r$, maka panjang busur dapat dinyatakan sebagai:

Pada rumus ini:

• $\alpha$ adalah besar sudut pusat dalam derajat
• $r$ adalah jari-jari lingkaran

Satu radian menyatakan perbandingan panjang busur dengan jari-jari. Karena itu, sudut dalam radian langsung menghasilkan rumus:

Pada rumus kedua, $\alpha$ adalah besar sudut pusat dalam radian.

Hubungan Busur dengan Sudut Pusat

Pada lingkaran yang sama, panjang busur berbanding lurus dengan sudut pusat yang menghadapnya:

Perbandingan ini berlaku untuk busur-busur pada lingkaran yang sama. Artinya, jika sudut pusat suatu busur dua kali lipat dari sudut pusat busur lain, maka panjang busur tersebut juga akan dua kali lipat.

Pada lingkaran yang sama, rasio panjang dua busur sama dengan rasio sudut pusatnya. Karena itu, kedua panjang busur dapat dibandingkan tanpa mengetahui jari-jari lingkaran.

Latihan

Setiap soal meminta panjang busur, jadi tentukan dulu jari-jari dan besar sudut pusat dalam radian, lalu kalikan jari-jari dengan sudut pusat itu.

1. Sebuah busur lingkaran memiliki jari-jari $14 \text{ cm}$ dan besar sudut pusatnya adalah $90^\circ$. Tentukan panjang busur tersebut.

2. Diketahui panjang busur $AB$ adalah $22 \text{ cm}$ dan sudut $AOB$ adalah $120^\circ$, dengan $O$ sebagai pusat lingkaran. Berapakah panjang jari-jari lingkarannya?

3. Pada sebuah lingkaran dengan jari-jari $21 \text{ cm}$, terdapat dua busur. Busur pertama memiliki sudut pusat $60^\circ$ dan busur kedua memiliki sudut pusat $150^\circ$. Tentukan perbandingan panjang kedua busur tersebut.

4. Sebuah busur lingkaran memiliki panjang $15{,}7 \text{ cm}$. Jika jari-jari lingkaran adalah $10 \text{ cm}$, tentukan besar sudut pusat busur tersebut dalam derajat.

5. Diketahui keliling sebuah lingkaran adalah $88 \text{ cm}$. Jika sebuah busur pada lingkaran tersebut memiliki sudut pusat $45^\circ$, tentukan panjang busur tersebut.

Pembahasan

1. Jawaban: $7\pi \text{ cm} \approx 21{,}99 \text{ cm}$

   Diketahui: $r = 14 \text{ cm}$, $\alpha = 90^\circ$

   Menggunakan rumus panjang busur:

   $$\text{Panjang busur} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r$$

   $$= \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 14$$

   $$= \frac{1}{4} \times 28\pi$$

   $$= 7\pi \text{ cm} \approx 21{,}99 \text{ cm}$$

2. Jawaban: $\frac{33}{\pi} \text{ cm} \approx 10{,}50 \text{ cm}$

   Diketahui: Panjang busur $AB = 22 \text{ cm}$, $\alpha = 120^\circ$

   Menggunakan rumus panjang busur:

   $$22 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi r$$

   $$22 = \frac{2\pi r}{3}$$

   $$66 = 2\pi r$$

   $$r = \frac{33}{\pi} \text{ cm} \approx 10{,}50 \text{ cm}$$

3. Jawaban: $2:5$

   Diketahui: $r = 21 \text{ cm}$, $\alpha_1 = 60^\circ$, $\alpha_2 = 150^\circ$

   Karena pada lingkaran yang sama, perbandingan panjang busur sama dengan perbandingan sudut pusatnya:

   $$\begin{aligned}\frac{\text{Panjang busur}_1}{\text{Panjang busur}_2} &= \frac{\alpha_1}{\alpha_2} \\ &= \frac{60^\circ}{150^\circ} \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}$$

   Jadi perbandingan panjang kedua busur adalah $2:5$.

4. Jawaban: $\alpha \approx 90^\circ$

   Diketahui: panjang busur = $15{,}7 \text{ cm}$, $r = 10 \text{ cm}$

   Menggunakan rumus panjang busur:

   $$15{,}7 = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi \times 10$$

   $$15{,}7 = \frac{\alpha\pi}{18}$$

   $$\alpha = \frac{15{,}7 \times 18^\circ}{\pi}$$

   $$\alpha = \frac{282{,}6^\circ}{\pi} \approx 89{,}95^\circ$$

5. Jawaban: $11 \text{ cm}$

   Diketahui: Keliling = $88 \text{ cm}$, $\alpha = 45^\circ$

   Menggunakan konsep perbandingan:

   $$\begin{aligned} &\text{Panjang busur} \\ &= \frac{\alpha}{360^\circ} \times \text{Keliling} \end{aligned}$$

   $$= \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 88$$

   $$= \frac{1}{8} \times 88 = 11 \text{ cm}$$