Sudut Pusat pada Busur

Pengertian Sudut Pusat

Sudut pusat dibentuk oleh dua jari-jari dan memiliki titik sudut di pusat lingkaran. Potongan pizza dapat menjadi gambaran sederhana: ujung runcingnya berada di pusat, sedangkan kedua sisi lurusnya mengikuti jari-jari.

Pada lingkaran berpusat $O$, misalkan $A$ dan $B$ terletak pada keliling. Sudut $\angle AOB$ adalah sudut pusat yang membentang busur $AB$ di antara kedua titik tersebut.

Hubungan Sudut Pusat dengan Busur

Sudut pusat dan busur yang dihadapinya memiliki besar derajat yang sama. Jadi, sudut pusat $60^\circ$ menghadap busur sebesar $60^\circ$.

Jika $\angle AOB = 60^\circ$, besar busur $AB$ juga $60^\circ$. Kedua angka tersebut memakai satuan derajat. Panjang busur memakai satuan panjang seperti sentimeter.

Jenis Busur Berdasarkan Sudut Pusat

Berdasarkan besar sudut pusatnya, busur dapat dibedakan menjadi tiga jenis. Sudut pusat menentukan bagian keliling lingkaran yang dicakup busur. Busur di bawah 180 derajat disebut minor, di atas 180 derajat mayor, dan tepat 180 derajat membentuk setengah lingkaran.

Busur Minor

Busur kecil dibentang oleh sudut pusat kurang dari $180^\circ$. Panjang busur kecil selalu kurang dari setengah keliling lingkaran. Pada sudut $90^\circ$ busur itu mencakup seperempat keliling, karena perbandingan $90/360$ tepat seperempat.

Busur Setengah Lingkaran

Busur setengah lingkaran dibentang oleh sudut pusat tepat $180^\circ$. Kedua ujungnya terletak pada satu diameter sehingga panjang busurnya setengah keliling lingkaran. Juring yang bersesuaian adalah setengah lingkaran itu sendiri.

Busur Mayor

Busur besar dibentang oleh sudut pusat refleks yang lebih dari $180^\circ$. Panjangnya lebih dari setengah keliling. Besar busur dalam derajat merupakan sisa satu putaran penuh setelah besar busur kecil yang bersesuaian dikurangkan:

Perhitungan Panjang Busur

Panjang busur dapat dihitung menggunakan perbandingan antara sudut pusat dengan sudut penuh lingkaran. Rumus dasar untuk menghitung panjang busur adalah:

Pada rumus ini:

• $s$ = panjang busur
• $\theta$ = besar sudut pusat dalam derajat
• $r$ = jari-jari lingkaran

Satu radian menyatakan perbandingan panjang busur dengan jari-jari. Karena itu, sudut dalam radian langsung menghasilkan rumus:

Di sini $\theta$ harus dinyatakan dalam radian.

Menghitung Panjang Busur dari Sudut Pusat

Perhatikan sebuah lingkaran dengan jari-jari $r = 6 \text{ cm}$ dan sudut pusat $\theta = 120^\circ$.

Masukkan jari-jari dan sudut pusat ke rumus panjang busur:

Jadi, busur yang bersesuaian dengan sudut pusat $120^\circ$ memiliki panjang $4\pi \text{ cm}$ atau sekitar $12{,}57 \text{ cm}$.

Contoh Penggunaan Sudut Pusat

Pada roda gigi atau cakram, bagian yang dipisahkan oleh sudut pusat sama akan tersusun merata. Untuk menghitung jarak antarbagian di sepanjang tepi, kita juga perlu mengetahui jari-jari. Pada jam analog, jarum menyapu sudut pusat seiring waktu. Geometri busur juga dapat digunakan untuk memodelkan bentuk lengkungan atau kubah, tetapi rancangan struktur memerlukan informasi tambahan.

Jika Bumi dimodelkan sebagai bola, panjang rute pada lingkaran besar memenuhi $s=r\theta$ untuk sudut pusat $\theta$ dalam radian. Model bola ini cukup untuk contoh matematika, tetapi navigasi presisi memerlukan model Bumi dan data rute dengan tingkat ketelitian yang sesuai.

Latihan

Setiap soal menghubungkan sudut pusat dengan busur yang dipotongnya, jadi pilih satuan derajat atau radian dan gunakan satu satuan itu sampai selesai.

1. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $8 \text{ cm}$. Jika sudut pusat yang menghadap suatu busur adalah $45^\circ$, hitunglah panjang busur tersebut.

2. Diketahui panjang busur suatu lingkaran adalah $10\pi \text{ cm}$ dan jari-jarinya $15 \text{ cm}$. Tentukan besar sudut pusat yang menghadap busur tersebut.

3. Dalam sebuah lingkaran dengan pusat $O$, terdapat sudut pusat $\angle AOB = 72^\circ$. Jika jari-jari lingkaran adalah $r = 5 \text{ cm}$, tentukan panjang busur $AB$ dan nyatakan hasilnya dalam bentuk $\pi$.

4. Sebuah roda sepeda berjari-jari $30 \text{ cm}$ berputar pada poros tetap sebesar $150^\circ$. Berapa jauh sebuah titik pada tepi roda bergerak sepanjang lintasan melingkarnya?

Pembahasan

1. Penyelesaian:

   Diketahui: $r = 8 \text{ cm}$ dan $\theta = 45^\circ$

   Ditanya: Panjang busur $s$

   Langkah 1: Gunakan rumus panjang busur

   $$s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$$

   Langkah 2: Substitusi nilai yang diketahui

   $$s = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 8$$

   Langkah 3: Sederhanakan pecahan

   $$s = \frac{1}{8} \times 16\pi$$

   Langkah 4: Hitung hasil akhir

   $$s = 2\pi \text{ cm}$$

   Jadi, panjang busur tersebut adalah $2\pi \text{ cm}$ atau sekitar $6{,}28 \text{ cm}$.

2. Penyelesaian:

   Diketahui: $s = 10\pi \text{ cm}$ dan $r = 15 \text{ cm}$

   Ditanya: Besar sudut pusat $\theta$

   Langkah 1: Gunakan rumus panjang busur

   $$s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$$

   Langkah 2: Substitusi nilai yang diketahui

   $$10\pi = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi \times 15$$

   Langkah 3: Sederhanakan persamaan

   $$10\pi = \frac{\theta \times 30\pi}{360^\circ}$$

   Langkah 4: Isolasi $\theta$

   $$\theta = \frac{10\pi \times 360^\circ}{30\pi}$$

   Langkah 5: Hitung hasil akhir

   $$\theta = \frac{3600^\circ}{30} = 120^\circ$$

   Jadi, besar sudut pusat yang menghadap busur tersebut adalah $120^\circ$.

3. Penyelesaian:

   Diketahui: $\angle AOB = 72^\circ$ dan $r = 5 \text{ cm}$

   Ditanya: Panjang busur $AB$

   Langkah 1: Gunakan rumus panjang busur

   $$s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$$

   Langkah 2: Substitusi nilai yang diketahui

   $$s = \frac{72^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 5$$

   Langkah 3: Sederhanakan pecahan

   $$s = \frac{72^\circ}{360^\circ} \times 10\pi = \frac{1}{5} \times 10\pi$$

   Langkah 4: Hitung hasil akhir

   $$s = 2\pi \text{ cm}$$

   Jadi, panjang busur $AB$ adalah $2\pi \text{ cm}$.

4. Penyelesaian:

   Diketahui: $r = 30 \text{ cm}$ dan $\theta = 150^\circ$

   Ditanya: Jarak yang ditempuh (panjang busur)

   Langkah 1: Gunakan rumus panjang busur

   $$s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$$

   Langkah 2: Substitusi nilai yang diketahui

   $$s = \frac{150^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 30$$

   Langkah 3: Sederhanakan pecahan

   $$s = \frac{150^\circ}{360^\circ} \times 60\pi = \frac{5}{12} \times 60\pi$$

   Langkah 4: Hitung hasil akhir

   $$s = 25\pi \text{ cm}$$

   Jadi, titik tersebut bergerak sejauh $25\pi \text{ cm}$ sepanjang lintasan melingkarnya, atau sekitar $78{,}54 \text{ cm}$.