Panjang busur dan luas juring dikendalikan oleh sudut pusat yang sama. Pada roda sepeda yang berputar, sudut yang lebih besar membuat titik di tepi roda menempuh lintasan lebih panjang dan jari-jari menyapu daerah lebih luas.
Hubungan ini dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan yang konsisten. Ketika sudut pusat suatu lingkaran berubah, maka panjang busur dan luas juring akan berubah secara proporsional dengan perbandingan yang sama terhadap keliling dan luas total lingkaran.
Rumus ini menunjukkan bahwa perbandingan panjang busur terhadap keliling lingkaran sama dengan perbandingan luas juring terhadap luas lingkaran, yang keduanya sama dengan perbandingan sudut pusat terhadap sudut penuh lingkaran.
Lihat bagaimana hubungan proporsional ini berlaku untuk berbagai sudut pusat. Setiap sudut pusat menghasilkan perbandingan yang konsisten antara panjang busur dan luas juring terhadap keseluruhan lingkaran.
Sudut 45∘ menghasilkan perbandingan 81
Lingkaran dengan sudut pusat 45∘ menunjukkan bahwa panjang busur = 81 keliling dan luas juring = 81 luas lingkaran.
Sudut 90∘ menghasilkan perbandingan 41
Lingkaran dengan sudut pusat 90∘ menunjukkan bahwa panjang busur = keliling dan luas juring = luas lingkaran.
Sudut 180∘ menghasilkan perbandingan 21
Lingkaran dengan sudut pusat 180∘ menunjukkan bahwa panjang busur = keliling dan luas juring = luas lingkaran.
Sudut α untuk semua kasus umum
Setiap sudut pusat α mengikuti pola yang sama: panjang busur = 360∘α keliling dan luas juring = 360∘α luas lingkaran.
Visualisasi di atas mengikuti hubungan yang sama untuk setiap sudut pusat α:
Panjang Busur=360∘α×Keliling Lingkaran
Luas Juring=360∘α×Luas Lingkaran
Atau dalam bentuk rumus lengkap:
Panjang Busur=360∘α×2πr
Luas Juring=360∘α×πr2
Pada lingkaran yang sama, sudut pusat yang sama menghasilkan busur dan juring yang kongruen. Untuk sudut-sudut yang bersebelahan, panjang busur dan luas juringnya juga dapat dijumlahkan.
Eratosthenes, yang hidup sekitar 276-194 SM, memakai gagasan perbandingan yang sama untuk memperkirakan keliling Bumi. Pada titik balik matahari musim panas, Matahari tepat di atas Syene, sedangkan benda tegak di Alexandria menunjukkan selisih sudut 7,2∘. Jarak kedua kota saat itu diperkirakan 5.000 stadia.
Pengukuran Keliling Bumi oleh Eratosthenes
Model menghubungkan sudut 7,2∘ dengan jarak permukaan 5.000 stadia.
Menggunakan hubungan proporsional:
Keliling BumiJarak Alexandria-Syene=360∘7,2∘
Keliling Bumi5.000 stadia=360∘7,2∘=501
Keliling Bumi=5.000×50=250.000 stadia
Panjang satu stadion kuno tidak diketahui secara pasti. Dengan salah satu konversi yang umum dipakai, hasil tersebut kira-kira 40.000 km.
Pada lingkaran berjari-jari r dengan sudut pusat yang tidak nol, luas juring dibagi panjang busurnya sama dengan r/2:
Panjang BusurLuas Juring=2r
Jika sudut pusat berubah, luas juring dan panjang busur berubah dengan faktor yang sama. Karena itu, perbandingannya tetap r/2.
Hubungan ini menunjukkan bahwa rasio luas juring terhadap panjang busur selalu sama dengan setengah jari-jari lingkaran, tidak bergantung pada besar sudut pusat.
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 14 cm. Jika panjang busur suatu juring adalah 22 cm, tentukan luas juring tersebut.
Diketahui luas juring sebesar 154 cm2 dan panjang busur 22 cm. Tentukan jari-jari lingkaran tersebut.
Dua kota terletak pada lingkaran besar yang sama dan berjarak 1.000 km jika diukur sepanjang lingkaran tersebut. Jika sudut yang bersesuaian di pusat Bumi adalah 9∘, tentukan perkiraan keliling Bumi.
