Hubungan Panjang Busur dan Luas Juring

Perbandingan Panjang Busur dan Luas Juring

Panjang busur dan luas juring mengambil bagian yang sama dari nilai lingkaran penuh, sehingga keduanya berubah dengan perbandingan yang sama saat sudut pusat berubah:

\begin{aligned} &\frac{\text{Panjang Busur}}{\text{Keliling Lingkaran}} \\ &=\frac{\text{Luas Juring}}{\text{Luas Lingkaran}} \\ &=\frac{\alpha}{360^\circ} \end{aligned}

Rumus ini menunjukkan bahwa perbandingan panjang busur terhadap keliling lingkaran sama dengan perbandingan luas juring terhadap luas lingkaran, yang keduanya sama dengan perbandingan sudut pusat terhadap sudut penuh lingkaran.

Rumus Panjang Busur dan Luas Juring

Berdasarkan hubungan proporsional tersebut, kita dapat menurunkan formula untuk menghitung panjang busur dan luas juring:

\text{Panjang Busur} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r

Dari kedua formula ini, kita dapat menemukan hubungan langsung antara panjang busur dan luas juring:

\begin{aligned} &\text{Luas Juring} \\ &= \frac{1}{2} \times \text{Panjang Busur} \times r \end{aligned}

Visualisasi Hubungan Proporsional

Lihat bagaimana hubungan proporsional ini berlaku untuk berbagai sudut pusat. Setiap sudut pusat menghasilkan perbandingan yang konsisten antara panjang busur dan luas juring terhadap keseluruhan lingkaran.

Sudut

45^\circ

menghasilkan perbandingan

\frac{1}{8}

Pada sudut pusat

45^\circ

, panjang busur adalah

\frac{1}{8}

dari keliling dan luas juring adalah

\frac{1}{8}

dari luas lingkaran.

Sudut

90^\circ

menghasilkan perbandingan

\frac{1}{4}

Pada sudut pusat

90^\circ

, panjang busur adalah

\frac{1}{4}

dari keliling dan luas juring adalah

\frac{1}{4}

dari luas lingkaran.

Sudut

180^\circ

menghasilkan perbandingan

\frac{1}{2}

Pada sudut pusat

180^\circ

, panjang busur adalah

\frac{1}{2}

dari keliling dan luas juring adalah

\frac{1}{2}

dari luas lingkaran.

Sudut

\alpha

untuk semua kasus umum

Pada sudut pusat

\alpha

, panjang busur adalah

\frac{\alpha}{360^\circ}

dari keliling dan luas juring adalah

\frac{\alpha}{360^\circ}

dari luas lingkaran.

Visualisasi di atas mengikuti hubungan yang sama untuk setiap sudut pusat $\alpha$ :

\begin{aligned} &\text{Panjang Busur} \\ &= \frac{\alpha}{360^\circ} \times \text{Keliling Lingkaran} \end{aligned}

Atau dalam bentuk rumus lengkap:

\text{Panjang Busur} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r

Pada lingkaran yang sama, sudut pusat yang sama menghasilkan busur dan juring yang kongruen. Untuk sudut-sudut yang bersebelahan, panjang busur dan luas juringnya juga dapat dijumlahkan.

Aplikasi dalam Pengukuran Bumi

Eratosthenes, yang hidup sekitar $276\text{-}194 \text{ SM}$ , memakai gagasan perbandingan yang sama untuk memperkirakan keliling Bumi. Pada titik balik matahari musim panas, Matahari tepat di atas Syene, sedangkan benda tegak di Alexandria menunjukkan selisih sudut $7{,}2^\circ$ . Jarak kedua kota saat itu diperkirakan $5{.}000 \text{ stadia}$ .

Pengukuran Keliling Bumi oleh Eratosthenes

Model menghubungkan sudut

7{,}2^\circ

dengan jarak permukaan

5{.}000 \text{ stadia}

Menggunakan hubungan proporsional:

Misalkan $D$ adalah jarak Aleksandria ke Syene dan $C$ adalah keliling Bumi:

\frac DC=\frac{7{,}2^\circ}{360^\circ}

Panjang satu stadion kuno tidak diketahui secara pasti. Dengan salah satu konversi yang umum dipakai, hasil tersebut kira-kira $40{.}000 \text{ km}$ .

Hubungan Antara Busur dan Juring

Pada lingkaran berjari-jari $r$ dengan sudut pusat yang tidak nol, luas juring dibagi panjang busurnya sama dengan $r/2$ :

\frac{\text{Luas Juring}}{\text{Panjang Busur}} = \frac{r}{2}

Jika sudut pusat berubah, luas juring dan panjang busur berubah dengan faktor yang sama. Karena itu, perbandingannya tetap $r/2$ .

Hubungan ini menunjukkan bahwa rasio luas juring terhadap panjang busur selalu sama dengan setengah jari-jari lingkaran, tidak bergantung pada besar sudut pusat.

Latihan

Setiap soal menghubungkan panjang busur dengan luas juring pada lingkaran yang sama, jadi tuliskan kedua besaran dari jari-jari dan sudut pusat yang sama. Hubungan antara panjang busur dan luas juring itu memberi nilai yang belum diketahui tanpa perlu menghitung sudutnya lebih dulu.

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $14 \text{ cm}$ . Jika panjang busur suatu juring adalah $22 \text{ cm}$ , tentukan luas juring tersebut.
Diketahui luas juring sebesar $154 \text{ cm}^2$ dan panjang busur $22 \text{ cm}$ . Tentukan jari-jari lingkaran tersebut.
Dua kota terletak pada lingkaran besar yang sama dan berjarak $1{.}000 \text{ km}$ jika diukur sepanjang lingkaran tersebut. Jika sudut yang bersesuaian di pusat Bumi adalah $9^\circ$ , tentukan perkiraan keliling Bumi.

Pembahasan

Langkah Penyelesaian:

Diketahui: $r = 14 \text{ cm}$ , panjang busur = $22 \text{ cm}$

Menggunakan hubungan: $\text{Luas Juring} = \frac{1}{2} \times \text{Panjang Busur} \times r$
$\text{Luas Juring} = \frac{1}{2} \times 22 \times 14$
Langkah Penyelesaian:

Diketahui: luas juring = $154 \text{ cm}^2$ , panjang busur = $22 \text{ cm}$

Menggunakan hubungan: $\frac{\text{Luas Juring}}{\text{Panjang Busur}} = \frac{r}{2}$
$\frac{154}{22} = \frac{r}{2}$
Langkah Penyelesaian:

Diketahui: jarak = $1{.}000 \text{ km}$ , sudut = $9^\circ$

Menggunakan perbandingan: $\frac{\text{Jarak}}{\text{Keliling Bumi}} = \frac{9^\circ}{360^\circ}$
$\begin{aligned} \frac{1{.}000}{\text{Keliling Bumi}} &= \frac{9^\circ}{360^\circ} \\ &= \frac{1}{40} \end{aligned}$

Perbandingan Panjang Busur dan Luas Juring

Panjang busur dan luas juring mengambil bagian yang sama dari nilai lingkaran penuh, sehingga keduanya berubah dengan perbandingan yang sama saat sudut pusat berubah:

\begin{aligned} &\frac{\text{Panjang Busur}}{\text{Keliling Lingkaran}} \\ &=\frac{\text{Luas Juring}}{\text{Luas Lingkaran}} \\ &=\frac{\alpha}{360^\circ} \end{aligned}

Rumus Panjang Busur dan Luas Juring

Berdasarkan hubungan proporsional tersebut, kita dapat menurunkan formula untuk menghitung panjang busur dan luas juring:

\text{Panjang Busur} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r

Dari kedua formula ini, kita dapat menemukan hubungan langsung antara panjang busur dan luas juring:

\begin{aligned} &\text{Luas Juring} \\ &= \frac{1}{2} \times \text{Panjang Busur} \times r \end{aligned}

Visualisasi Hubungan Proporsional

Sudut

45^\circ

menghasilkan perbandingan

\frac{1}{8}

Pada sudut pusat

45^\circ

, panjang busur adalah

\frac{1}{8}

dari keliling dan luas juring adalah

\frac{1}{8}

dari luas lingkaran.

Sudut

90^\circ

menghasilkan perbandingan

\frac{1}{4}

Pada sudut pusat

90^\circ

, panjang busur adalah

\frac{1}{4}

dari keliling dan luas juring adalah

\frac{1}{4}

dari luas lingkaran.

Sudut

180^\circ

menghasilkan perbandingan

\frac{1}{2}

Pada sudut pusat

180^\circ

, panjang busur adalah

\frac{1}{2}

dari keliling dan luas juring adalah

\frac{1}{2}

dari luas lingkaran.

Sudut

\alpha

untuk semua kasus umum

Pada sudut pusat

\alpha

, panjang busur adalah

\frac{\alpha}{360^\circ}

dari keliling dan luas juring adalah

\frac{\alpha}{360^\circ}

dari luas lingkaran.

Visualisasi di atas mengikuti hubungan yang sama untuk setiap sudut pusat $\alpha$ :

\begin{aligned} &\text{Panjang Busur} \\ &= \frac{\alpha}{360^\circ} \times \text{Keliling Lingkaran} \end{aligned}

Atau dalam bentuk rumus lengkap:

\text{Panjang Busur} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r

Pada lingkaran yang sama, sudut pusat yang sama menghasilkan busur dan juring yang kongruen. Untuk sudut-sudut yang bersebelahan, panjang busur dan luas juringnya juga dapat dijumlahkan.

Aplikasi dalam Pengukuran Bumi

Pengukuran Keliling Bumi oleh Eratosthenes

Model menghubungkan sudut

7{,}2^\circ

dengan jarak permukaan

5{.}000 \text{ stadia}

Menggunakan hubungan proporsional:

Misalkan $D$ adalah jarak Aleksandria ke Syene dan $C$ adalah keliling Bumi:

\frac DC=\frac{7{,}2^\circ}{360^\circ}

Panjang satu stadion kuno tidak diketahui secara pasti. Dengan salah satu konversi yang umum dipakai, hasil tersebut kira-kira $40{.}000 \text{ km}$ .

Hubungan Antara Busur dan Juring

Pada lingkaran berjari-jari $r$ dengan sudut pusat yang tidak nol, luas juring dibagi panjang busurnya sama dengan $r/2$ :

\frac{\text{Luas Juring}}{\text{Panjang Busur}} = \frac{r}{2}

Jika sudut pusat berubah, luas juring dan panjang busur berubah dengan faktor yang sama. Karena itu, perbandingannya tetap $r/2$ .

Hubungan ini menunjukkan bahwa rasio luas juring terhadap panjang busur selalu sama dengan setengah jari-jari lingkaran, tidak bergantung pada besar sudut pusat.

Latihan

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $14 \text{ cm}$ . Jika panjang busur suatu juring adalah $22 \text{ cm}$ , tentukan luas juring tersebut.
Diketahui luas juring sebesar $154 \text{ cm}^2$ dan panjang busur $22 \text{ cm}$ . Tentukan jari-jari lingkaran tersebut.
Dua kota terletak pada lingkaran besar yang sama dan berjarak $1{.}000 \text{ km}$ jika diukur sepanjang lingkaran tersebut. Jika sudut yang bersesuaian di pusat Bumi adalah $9^\circ$ , tentukan perkiraan keliling Bumi.

Pembahasan

Langkah Penyelesaian:

Diketahui: $r = 14 \text{ cm}$ , panjang busur = $22 \text{ cm}$

Menggunakan hubungan: $\text{Luas Juring} = \frac{1}{2} \times \text{Panjang Busur} \times r$
$\text{Luas Juring} = \frac{1}{2} \times 22 \times 14$
Langkah Penyelesaian:

Diketahui: luas juring = $154 \text{ cm}^2$ , panjang busur = $22 \text{ cm}$

Menggunakan hubungan: $\frac{\text{Luas Juring}}{\text{Panjang Busur}} = \frac{r}{2}$
$\frac{154}{22} = \frac{r}{2}$
Langkah Penyelesaian:

Diketahui: jarak = $1{.}000 \text{ km}$ , sudut = $9^\circ$

Menggunakan perbandingan: $\frac{\text{Jarak}}{\text{Keliling Bumi}} = \frac{9^\circ}{360^\circ}$
$\begin{aligned} \frac{1{.}000}{\text{Keliling Bumi}} &= \frac{9^\circ}{360^\circ} \\ &= \frac{1}{40} \end{aligned}$