Hubungan Panjang Busur dan Luas Juring

Konsep Dasar Hubungan Busur dan Juring

Dalam geometri lingkaran, terdapat hubungan yang sangat erat antara panjang busur dan luas juring. Bayangkan sebuah roda sepeda yang berputar, semakin besar sudut putaran roda tersebut, semakin panjang lintasan yang dilalui oleh titik di tepi roda dan semakin luas daerah yang disapu oleh jari-jari roda.

Hubungan ini dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan yang konsisten. Ketika sudut pusat suatu lingkaran berubah, maka panjang busur dan luas juring akan berubah secara proporsional dengan perbandingan yang sama terhadap keliling dan luas total lingkaran.

Perbandingan Fundamental

Perbandingan mendasar yang menghubungkan panjang busur dan luas juring terhadap lingkaran utuh dapat dinyatakan sebagai berikut:

\frac{\text{Panjang Busur}}{\text{Keliling Lingkaran}} = \frac{\text{Luas Juring}}{\text{Luas Lingkaran}} = \frac{\alpha}{360^\circ}

Rumus ini menunjukkan bahwa perbandingan panjang busur terhadap keliling lingkaran sama dengan perbandingan luas juring terhadap luas lingkaran, yang keduanya sama dengan perbandingan sudut pusat terhadap sudut penuh lingkaran.

Formula Matematis

Berdasarkan hubungan proporsional tersebut, kita dapat menurunkan formula untuk menghitung panjang busur dan luas juring:

\text{Panjang Busur} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r

Dari kedua formula ini, kita dapat menemukan hubungan langsung antara panjang busur dan luas juring:

\text{Luas Juring} = \frac{1}{2} \times \text{Panjang Busur} \times r

Visualisasi Hubungan Proporsional

Mari kita lihat bagaimana hubungan proporsional ini berlaku untuk berbagai sudut pusat. Setiap sudut pusat menghasilkan perbandingan yang konsisten antara panjang busur dan luas juring terhadap keseluruhan lingkaran.

Sudut

45^\circ

menghasilkan perbandingan

\frac{1}{8}

Lingkaran dengan sudut pusat

45^\circ

menunjukkan bahwa panjang busur =

\frac{1}{8}

keliling dan luas juring =

\frac{1}{8}

luas lingkaran.

Sudut

90^\circ

menghasilkan perbandingan

\frac{1}{4}

Lingkaran dengan sudut pusat

90^\circ

menunjukkan bahwa panjang busur =

\frac{1}{4}

keliling dan luas juring =

\frac{1}{4}

luas lingkaran.

Sudut

180^\circ

menghasilkan perbandingan

\frac{1}{2}

Lingkaran dengan sudut pusat

180^\circ

menunjukkan bahwa panjang busur =

\frac{1}{2}

keliling dan luas juring =

\frac{1}{2}

luas lingkaran.

Sudut

\alpha

untuk semua kasus umum

Setiap sudut pusat

\alpha

mengikuti pola yang sama: panjang busur =

\frac{\alpha}{360^\circ}

keliling dan luas juring =

\frac{\alpha}{360^\circ}

luas lingkaran.

Dari visualisasi di atas, kita dapat melihat pola yang konsisten. Untuk setiap sudut pusat $\alpha$ , berlaku hubungan matematis:

\text{Panjang Busur} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \text{Keliling Lingkaran}

Atau dalam bentuk rumus lengkap:

\text{Panjang Busur} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r

Penting untuk dipahami bahwa kedua rumus ini saling terkait. Dua busur dikatakan kongruen pada lingkaran yang sama jika sudut pusat yang bersesuaian sama besar. Selain itu, panjang busur yang dibuat oleh dua busur yang berdekatan dengan titik ujung yang berhimpit akan sama dengan jumlah panjang kedua busur tersebut.

Aplikasi dalam Pengukuran Bumi

Salah satu penerapan paling menarik dari hubungan panjang busur dan luas juring adalah pengukuran keliling Bumi oleh Eratosthenes sekitar tahun $276\text{-}195 \text{ SM}$ . Dengan mengamati bahwa sinar matahari jatuh tegak lurus di Syene pada saat yang sama membentuk sudut $7{,}2^\circ$ di Alexandria yang berjarak $500 \text{ mil}$ , ia dapat menghitung keliling Bumi.

Pengukuran Keliling Bumi oleh Eratosthenes

Visualisasi menunjukkan sudut

7{,}2^\circ

antara Alexandria dan Syene dengan jarak

500 \text{ mil}

Menggunakan hubungan proporsional:

\frac{\text{Jarak Alexandria-Syene}}{\text{Keliling Bumi}} = \frac{7{,}2^\circ}{360^\circ}

Hubungan Antara Busur dan Juring

Penting untuk memahami bahwa dalam satu lingkaran dengan sudut pusat yang sama, perbandingan antara panjang busur dan luas juring memiliki hubungan khusus:

\frac{\text{Luas Juring}}{\text{Panjang Busur}} = \frac{r}{2}

Hubungan ini menunjukkan bahwa rasio luas juring terhadap panjang busur selalu sama dengan setengah jari-jari lingkaran, tidak bergantung pada besar sudut pusat.

Latihan

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $14 \text{ cm}$ . Jika panjang busur suatu juring adalah $22 \text{ cm}$ , tentukan luas juring tersebut.
Diketahui luas juring sebesar $154 \text{ cm}^2$ dan panjang busur $22 \text{ cm}$ . Tentukan jari-jari lingkaran tersebut.
Dua kota terletak pada garis lintang yang sama dengan jarak $1.000 \text{ km}$ . Jika sudut yang dibentuk di pusat Bumi adalah $9^\circ$ , tentukan perkiraan keliling Bumi.

Kunci Jawaban

Langkah Penyelesaian:

Diketahui: $r = 14 \text{ cm}$ , panjang busur = $22 \text{ cm}$

Menggunakan hubungan: $\text{Luas Juring} = \frac{1}{2} \times \text{Panjang Busur} \times r$
$\text{Luas Juring} = \frac{1}{2} \times 22 \times 14$
Langkah Penyelesaian:

Diketahui: luas juring = $154 \text{ cm}^2$ , panjang busur = $22 \text{ cm}$

Menggunakan hubungan: $\frac{\text{Luas Juring}}{\text{Panjang Busur}} = \frac{r}{2}$
$\frac{154}{22} = \frac{r}{2}$
Langkah Penyelesaian:

Diketahui: jarak = $1.000 \text{ km}$ , sudut = $9^\circ$

Menggunakan perbandingan: $\frac{\text{Jarak}}{\text{Keliling Bumi}} = \frac{9^\circ}{360^\circ}$
$\frac{1.000}{\text{Keliling Bumi}} = \frac{9^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{40}$

Konsep Dasar Hubungan Busur dan Juring

Perbandingan Fundamental

Perbandingan mendasar yang menghubungkan panjang busur dan luas juring terhadap lingkaran utuh dapat dinyatakan sebagai berikut:

\frac{\text{Panjang Busur}}{\text{Keliling Lingkaran}} = \frac{\text{Luas Juring}}{\text{Luas Lingkaran}} = \frac{\alpha}{360^\circ}

Formula Matematis

Berdasarkan hubungan proporsional tersebut, kita dapat menurunkan formula untuk menghitung panjang busur dan luas juring:

\text{Panjang Busur} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r

Dari kedua formula ini, kita dapat menemukan hubungan langsung antara panjang busur dan luas juring:

\text{Luas Juring} = \frac{1}{2} \times \text{Panjang Busur} \times r

Visualisasi Hubungan Proporsional

Sudut

45^\circ

menghasilkan perbandingan

\frac{1}{8}

Lingkaran dengan sudut pusat

45^\circ

menunjukkan bahwa panjang busur =

\frac{1}{8}

keliling dan luas juring =

\frac{1}{8}

luas lingkaran.

Sudut

90^\circ

menghasilkan perbandingan

\frac{1}{4}

Lingkaran dengan sudut pusat

90^\circ

menunjukkan bahwa panjang busur =

\frac{1}{4}

keliling dan luas juring =

\frac{1}{4}

luas lingkaran.

Sudut

180^\circ

menghasilkan perbandingan

\frac{1}{2}

Lingkaran dengan sudut pusat

180^\circ

menunjukkan bahwa panjang busur =

\frac{1}{2}

keliling dan luas juring =

\frac{1}{2}

luas lingkaran.

Sudut

\alpha

untuk semua kasus umum

Setiap sudut pusat

\alpha

mengikuti pola yang sama: panjang busur =

\frac{\alpha}{360^\circ}

keliling dan luas juring =

\frac{\alpha}{360^\circ}

luas lingkaran.

Dari visualisasi di atas, kita dapat melihat pola yang konsisten. Untuk setiap sudut pusat $\alpha$ , berlaku hubungan matematis:

\text{Panjang Busur} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \text{Keliling Lingkaran}

Atau dalam bentuk rumus lengkap:

\text{Panjang Busur} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r

Aplikasi dalam Pengukuran Bumi

Pengukuran Keliling Bumi oleh Eratosthenes

Visualisasi menunjukkan sudut

7{,}2^\circ

antara Alexandria dan Syene dengan jarak

500 \text{ mil}

Menggunakan hubungan proporsional:

\frac{\text{Jarak Alexandria-Syene}}{\text{Keliling Bumi}} = \frac{7{,}2^\circ}{360^\circ}

Hubungan Antara Busur dan Juring

Penting untuk memahami bahwa dalam satu lingkaran dengan sudut pusat yang sama, perbandingan antara panjang busur dan luas juring memiliki hubungan khusus:

\frac{\text{Luas Juring}}{\text{Panjang Busur}} = \frac{r}{2}

Hubungan ini menunjukkan bahwa rasio luas juring terhadap panjang busur selalu sama dengan setengah jari-jari lingkaran, tidak bergantung pada besar sudut pusat.

Latihan

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $14 \text{ cm}$ . Jika panjang busur suatu juring adalah $22 \text{ cm}$ , tentukan luas juring tersebut.
Diketahui luas juring sebesar $154 \text{ cm}^2$ dan panjang busur $22 \text{ cm}$ . Tentukan jari-jari lingkaran tersebut.
Dua kota terletak pada garis lintang yang sama dengan jarak $1.000 \text{ km}$ . Jika sudut yang dibentuk di pusat Bumi adalah $9^\circ$ , tentukan perkiraan keliling Bumi.

Kunci Jawaban

Langkah Penyelesaian:

Diketahui: $r = 14 \text{ cm}$ , panjang busur = $22 \text{ cm}$

Menggunakan hubungan: $\text{Luas Juring} = \frac{1}{2} \times \text{Panjang Busur} \times r$
$\text{Luas Juring} = \frac{1}{2} \times 22 \times 14$
Langkah Penyelesaian:

Diketahui: luas juring = $154 \text{ cm}^2$ , panjang busur = $22 \text{ cm}$

Menggunakan hubungan: $\frac{\text{Luas Juring}}{\text{Panjang Busur}} = \frac{r}{2}$
$\frac{154}{22} = \frac{r}{2}$
Langkah Penyelesaian:

Diketahui: jarak = $1.000 \text{ km}$ , sudut = $9^\circ$

Menggunakan perbandingan: $\frac{\text{Jarak}}{\text{Keliling Bumi}} = \frac{9^\circ}{360^\circ}$
$\frac{1.000}{\text{Keliling Bumi}} = \frac{9^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{40}$