Sudut Pusat pada Juring

Sudut antara Dua Jari-jari Pembatas Juring

Sebuah juring dibatasi oleh dua jari-jari dan busur di antaranya. Kedua jari-jari membentuk sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran. Sudut inilah yang disebut sudut pusat. Kipas yang terbuka atau sepotong kue bundar menunjukkan bentuk dasarnya.

Sudut pusat menentukan bagian lingkaran yang ditempati juring. Pada jari-jari yang tetap, sudut yang lebih besar menghasilkan juring yang lebih luas, sedangkan sudut yang lebih kecil menghasilkan juring yang lebih sempit.

Sifat Sudut Pusat dalam Juring

Sudut pusat pada juring memiliki karakteristik yang membedakannya dari sudut lainnya:

• Kedua kaki sudut: Selalu berupa jari-jari lingkaran yang memiliki panjang sama
• Titik puncak sudut: Selalu berada tepat di pusat lingkaran
• Proporsi terhadap lingkaran: Besar sudut pusat menentukan proporsi juring terhadap keseluruhan lingkaran

Dalam lingkaran yang sama, sudut pusat yang sama menghasilkan luas juring yang sama. Karena itu, membagi satu putaran menjadi sudut-sudut yang sama juga membagi lingkaran menjadi bagian yang sama luas.

Hubungan Sudut Pusat dengan Luas Juring

Satu putaran penuh sama dengan luas seluruh lingkaran. Untuk satu juring, luas dihitung dari sudut pusat, dan satuan sudut menentukan rumus yang dipakai:

Untuk sudut dalam derajat:

Untuk sudut dalam radian:

Pada kedua rumus tersebut:

• $A$ = luas juring
• $\theta$ = sudut pusat, dinyatakan dalam derajat pada rumus pertama dan radian pada rumus kedua
• $r$ = jari-jari lingkaran

Kedua rumus tersebut menunjukkan bahwa luas juring sebanding dengan besar sudut pusat. Ketika sudut pusat digandakan, luas juring juga akan menjadi dua kali lipat. Begitu pula sebaliknya, jika sudut pusat dibagi dua, luas juring akan menjadi setengahnya.

Pengukuran dan Identifikasi Sudut Pusat

Periksa dahulu letak titik sudutnya. Pada sudut pusat, titik itu berada di pusat lingkaran dan kedua kakinya merupakan jari-jari. Sebaliknya, titik sudut dari sudut keliling berada pada keliling lingkaran.

Metode pengukuran sudut pusat:

• Menggunakan busur derajat: Letakkan titik pusat busur tepat di pusat lingkaran, pastikan garis dasar busur sejajar dengan salah satu jari-jari, kemudian baca skala pada posisi jari-jari kedua
• Perhitungan matematis: Menggunakan hubungan antara sudut pusat, jari-jari, panjang busur, dan luas juring
• Pembagian lingkaran: membagi $360^\circ$ dengan jumlah bagian yang sama

Setelah sudut pusat diukur, besar sudut dapat langsung digunakan untuk menghitung luas juring atau panjang busur yang bersesuaian.

Teorema Sudut Pusat dan Busur

Untuk sudut pusat dan busur yang dihadapinya, berlaku hubungan berikut:

Teorema utama:

• Besar sudut pusat sama dengan besar busur yang dihadapinya
• Jika sudut pusat berukuran $\alpha$ derajat, maka busur yang dibentuknya juga berukuran $\alpha$ derajat

Sifat sudut pusat:

• Dalam lingkaran yang sama, sudut pusat yang kongruen menghasilkan busur dan juring yang kongruen pula
• Jika dua juring pada lingkaran yang sama memiliki luas yang sama, sudut pusatnya juga sama besar
• Ketika sudut-sudut pusat yang bersebelahan dijumlahkan, besar busur yang bersesuaian juga dijumlahkan

Sifat-sifat ini menghubungkan sudut pusat, besar busur, dan luas juring dalam satu lingkaran. Bedakan selalu besar busur dalam derajat dari panjang fisik busur tersebut.

Perhitungan Sudut Pusat dari Informasi Juring

Menentukan besar sudut pusat dapat dilakukan melalui berbagai informasi yang diketahui tentang juring:

1. Dari luas juring dan jari-jari:

   $$\alpha = \frac{360^\circ \times A}{\pi r^2}$$

2. Dari panjang busur dan jari-jari:

   $$\alpha = \frac{180^\circ \times s}{\pi r}$$

3. Dari pembagian lingkaran sama rata:

   $$\alpha = \frac{360^\circ}{n}$$

dengan:

• $\alpha$ = sudut pusat (dalam derajat)
• $A$ = luas juring
• $s$ = panjang busur
• $r$ = jari-jari lingkaran
• $n$ = jumlah bagian pembagian

Pilih rumus sesuai data yang tersedia: luas juring, panjang busur, atau jumlah bagian yang sama besar.

Contoh aplikasi rumus:

• Pizza bundar dipotong secara radial menjadi $8$ juring sama besar: $\alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$
• Dua tanda jam berdekatan pada muka jam dengan $12$ pembagian sama besar: $\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$
• Kue bundar dipotong secara radial menjadi $6 \text{ juring sama besar}$: $\alpha = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$

Pada setiap contoh, bagian-bagiannya sama besar sehingga sudut pusatnya juga sama.