Tembereng

Daerah yang Dibatasi Tali Busur dan Busur

Garis yang memotong lingkaran di dua titik membentuk tali busur. Tali busur dan salah satu busur di antara kedua ujungnya membatasi satu tembereng lingkaran. Busur kecil membatasi tembereng kecil, sedangkan busur besar yang tersisa membatasi tembereng besar. Diameter menjadi kasus batas ketika kedua tembereng berupa setengah lingkaran.

Perbedaan Busur dan Tembereng

Busur adalah garis lengkung pada keliling lingkaran. Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh sebuah busur dan tali busurnya.

Ringkasan Perbedaan:

• Busur: Garis lengkung di keliling lingkaran (hanya panjang, tidak ada luas)
• Tembereng: Daerah yang dikelilingi busur dan tali busur (memiliki luas, dapat dihitung luasnya)

Jenis Tembereng Berdasarkan Ukuran

Berdasarkan ukurannya, tembereng dapat dibedakan menjadi dua jenis yang memiliki karakteristik berbeda:

Untuk jari-jari yang tetap, sudut pusat membedakan kedua tembereng:

• Tembereng Minor: sudut pusat $< 180^\circ$, luas tembereng $< \frac{1}{2}\pi r^2$
• Tembereng Mayor: sudut pusat $> 180^\circ$, luas tembereng $> \frac{1}{2}\pi r^2$

Rumus Luas Tembereng

Untuk menghitung luas tembereng kecil, kurangi juringnya dengan segitiga yang dibentuk oleh dua jari-jari dan tali busur.

Panjang busur dan luas tembereng memakai rumus yang berbeda.

Dengan memasukkan rumus luas juring dan segitiga, diperoleh:

Di sini $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ adalah sudut pusat kecil dalam derajat dan $r$ adalah jari-jari lingkaran.

Untuk tembereng besar, gunakan dahulu sudut kecil pelengkap $\beta=360^\circ-\alpha$, lalu kurangi luas seluruh lingkaran dengan luas tembereng kecil tersebut:

Juring Segitiga dan Tembereng

Diagram berikut menandai juring, segitiga yang dibentuk oleh dua jari-jari dan tali busur, serta tembereng yang tersisa setelah luas segitiga dikurangkan.

Perhitungan Luas Tembereng

Kita akan menghitung luas tembereng untuk sudut pusat $\alpha = 90^\circ$ dan jari-jari $r = 10 \text{ cm}$, sesuai visualisasi di atas.

Langkah 1: Menghitung Luas Juring

Langkah 2: Menghitung Luas Segitiga

Untuk sudut $90^\circ$, segitiga yang terbentuk adalah segitiga siku-siku dengan kedua sisi tegak berupa jari-jari:

Langkah 3: Menghitung Luas Tembereng

Latihan

Setiap soal meminta luas tembereng, jadi kurangkan luas segitiga dari luas juring yang memiliki sudut pusat sama.

1. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $7 \text{ cm}$. Jika terdapat tembereng dengan sudut pusat $60^\circ$, tentukan luas tembereng tersebut.

2. Sebuah tembereng kecil memiliki luas sekitar $15{,}3546 \text{ cm}^2$ pada lingkaran berjari-jari $5 \text{ cm}$. Tentukan besar sudut pusat kecil yang membentuk tembereng tersebut.

3. Sebuah tangki silinder horizontal berjari-jari $2 \text{ m}$ berisi air hingga kedalaman $1{,}5 \text{ m}$ dari dasar. Tentukan luas penampang tangki yang terisi air.

Pembahasan

1. Langkah Penyelesaian:

   Diketahui: $r = 7 \text{ cm}$, $\alpha = 60^\circ$

   Menghitung luas juring:

   $$\text{Luas Juring} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 7^2$$

   $$= \frac{1}{6} \times \pi \times 49$$

   $$= \frac{49\pi}{6} \text{ cm}^2$$

   Menghitung luas segitiga:

   $$\text{Luas Segitiga} = \frac{1}{2} r^2 \sin 60^\circ$$

   $$= \frac{1}{2} \times 49 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$= \frac{49\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2$$

   Menghitung luas tembereng:

   $$\text{Luas Tembereng} = \frac{49\pi}{6} - \frac{49\sqrt{3}}{4}$$

   $$\approx 25{,}6563 - 21{,}2176 = 4{,}4387 \text{ cm}^2$$

2. Langkah Penyelesaian:

   Diketahui: luas tembereng $\approx 15{,}3546 \text{ cm}^2$, $r = 5 \text{ cm}$

   Menggunakan rumus: $\text{Luas Tembereng} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin \alpha$

   Selesaikan persamaan ini secara numerik pada interval sudut kecil $0^\circ<\alpha<180^\circ$. Hasilnya:

   $\alpha \approx 120^\circ$

   Verifikasi:

   $$\begin{aligned} \text{Luas Juring} &= \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 25 \\ &= \frac{25\pi}{3} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &\text{Luas Segitiga} \\ &= \frac{1}{2} \times 25 \times \sin 120^\circ \\ &= \frac{25\sqrt{3}}{4} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &\text{Luas Tembereng} \\ &= \frac{25\pi}{3} - \frac{25\sqrt{3}}{4} \\ &\approx 26{,}1799 - 10{,}8253 \\ &= 15{,}3546 \text{ cm}^2 \end{aligned}$$

   Hasil ini sesuai dengan luas pada soal setelah pembulatan, sehingga sudut pusatnya sekitar $120^\circ$.

3. Langkah Penyelesaian:

   Diketahui: jari-jari tangki = $2 \text{ m}$, kedalaman air = $1{,}5 \text{ m}$

   Karena kedalaman air ($1{,}5 \text{ m}$) kurang dari jari-jari ($2 \text{ m}$), bagian penampang lingkaran yang terisi air berbentuk tembereng minor.

   Untuk tangki silinder horizontal, kita menggunakan rumus khusus tembereng dengan tinggi tertentu.

   Menentukan tinggi tembereng dari dasar tangki:

   Tinggi air yang diukur dari dasar adalah $h=1{,}5\text{ m}$.

   Gunakan rumus luas tembereng air pada tangki horizontal:

   Tuliskan $A$ untuk luas tembereng dan definisikan perbandingan tinggi $u$:

   $$u=\frac{r-h}{r}$$

   $$A=r^2\left(\arccos u-u\sqrt{1-u^2}\right)$$

   Sudut yang dihasilkan $\arccos$ dinyatakan dalam radian, sesuai dengan rumus luas tersebut.

   Substitusi nilai:

   $$\frac{r-h}{r} = \frac{2-1{,}5}{2} = 0{,}25$$

   $$\arccos(0{,}25) \approx 1{,}3181 \text{ radian}$$

   $$\sqrt{1-0{,}25^2} = \sqrt{0{,}9375} \approx 0{,}9682$$

   Menghitung luas penampang yang terisi air:

   $$\theta=\arccos(0{,}25)$$

   $$v=0{,}25\sqrt{0{,}9375}$$

   $$A=4(\theta-v)$$

   $$\approx 4 \times 1{,}0760546$$

   $$\approx 4{,}3042 \text{ m}^2$$