Merasionalkan Bentuk Akar

Perubahan yang Terjadi Saat Merasionalkan

Merasionalkan penyebut berarti menulis ulang pecahan ke bentuk setara yang penyebutnya tidak memuat bentuk akar. Nilainya tidak berubah karena pembilang dan penyebut dikalikan dengan bentuk tidak nol yang sama.

Untuk penyebut dengan dua suku, identitas utamanya adalah:

Bentuk $u+v$ dan $u-v$ disebut sekawan. Hasil kalinya menghilangkan suku tengah.

Satu Bentuk Akar pada Penyebut

Untuk $b>0$, kalikan dengan faktor $\frac{\sqrt b}{\sqrt b}=1$:

Faktor akar yang sama merupakan bentuk lain dari satu. Faktor ini tidak disebut sekawan karena hanya terdiri atas satu suku.

Penjumlahan atau Pengurangan Dua Bentuk Akar

Anggap $a,b\geq0$ dan $a\neq b$. Kalikan dengan bentuk sekawan penyebut:

Sebagai contoh:

Suku Rasional dan Suku Bentuk Akar

Anggap $b\geq0$ dan $a^2\neq b$. Bentuk sekawan kembali menghasilkan selisih kuadrat:

Sebagai contoh:

Menyederhanakan Bentuk Akar dan Eksponen

Anggap semua variabel pada latihan berikut bernilai positif. Dengan syarat ini, sifat pangkat pecahan dapat digunakan tanpa menambahkan kasus nilai mutlak. Kerjakan tiap soal dengan mengubah bentuk akarnya menjadi pangkat pecahan, lalu sederhanakan pangkatnya.

1. Sederhanakan:

   $$\left(\frac{8x^5y^{-4}}{16y^{-1/4}}\right)^{1/2}$$

2. Sederhanakan:

   $$\left(5\sqrt{x^5}\right)\left(3\sqrt[3]x\right)$$

3. Sederhanakan:

   $$\left(\frac{p^5q^{-10}}{p^5q^{-4}}\right)^{1/2}\left(\frac{p^{1/4}q^{-1/2}}{p^{-1/2}q^{-1/2}}\right)^{1/2}$$

Pembahasan Rasionalisasi Penyebut Penyederhanaan Bentuk Akar

1. Gabungkan koefisien dan setiap pangkat sebelum mengambil akar kuadrat:

   $$\left(\frac{8x^5y^{-4}}{16y^{-1/4}}\right)^{1/2}=\left(\frac12x^5y^{-15/4}\right)^{1/2}$$

   $$=2^{-1/2}x^{5/2}y^{-15/8}$$

   $$=\frac{x^{5/2}}{\sqrt2\,y^{15/8}}$$

2. Ubah kedua bentuk akar menjadi pangkat pecahan:

   $$\left(5\sqrt{x^5}\right)\left(3\sqrt[3]x\right)=15x^{5/2}x^{1/3}$$

   $$=15x^{15/6+2/6}=15x^{17/6}$$

   $$=15x^2\sqrt[6]{x^5}$$

3. Sederhanakan setiap bentuk di dalam tanda kurung sebelum mengalikannya:

   $$\left(q^{-6}\right)^{1/2}\left(p^{3/4}\right)^{1/2}=q^{-3}p^{3/8}$$

   $$=\frac{p^{3/8}}{q^3}$$

   $$=\frac{\sqrt[8]{p^3}}{q^3}$$

Latihan Merasionalkan

Latihan berikut meminta kamu menghilangkan bentuk akar dari penyebut. Kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk yang sama agar nilai pecahannya tidak berubah, dan pilih bentuk itu supaya penyebut hasilnya menjadi rasional.

1. Untuk $b>0$, rasionalkan:

   $$\frac2{\sqrt{b^3}}$$

2. Rasionalkan:

   $$\frac2{\sqrt3+\sqrt5}$$

3. Untuk $m\geq0$ dan $m\neq n^2$, rasionalkan:

   $$\frac m{\sqrt m+n}$$

Pembahasan Rasionalisasi Penyebut

Setiap penyelesaian mengalikan pecahan itu dengan bentuk satu, yaitu akar itu sendiri atau konjugatnya. Perhatikan bagaimana faktor yang dipilih menghilangkan akar tanpa mengubah nilai pecahan tersebut.

1. Karena $\sqrt{b^3}\sqrt b=\sqrt{b^4}=b^2$ untuk $b>0$:

   $$\frac2{\sqrt{b^3}}\cdot\frac{\sqrt b}{\sqrt b}=\frac{2\sqrt b}{\sqrt{b^4}}$$

   $$=\frac{2\sqrt b}{b^2}$$

2. Kalikan dengan bentuk sekawan:

   $$\begin{aligned} &\frac2{\sqrt3+\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt3-\sqrt5} \\ &=\frac{2(\sqrt3-\sqrt5)}{3-5} \end{aligned}$$

   $$=\sqrt5-\sqrt3$$

3. Bentuk sekawan penyebut adalah $\sqrt m-n$:

   $$\frac m{\sqrt m+n}\cdot\frac{\sqrt m-n}{\sqrt m-n}=\frac{m(\sqrt m-n)}{m-n^2}$$

   $$=\frac{m\sqrt m-mn}{m-n^2}$$

Menilai Bentuk Akhir

• Penyebut tidak boleh memuat bentuk akar.
• Setiap faktor pengali harus bernilai satu dan terdefinisi berdasarkan syarat yang dinyatakan.
• Hasil rasionalisasi harus tetap berupa bentuk eksak yang setara. Merasionalkan penyebut tidak otomatis membuat pendekatan desimal lebih akurat.

Ketiga pemeriksaan tersebut memastikan bahwa setiap langkah mempertahankan nilai pecahan dan tetap memenuhi syarat domainnya.