Bentuk Akar

Hubungan Pangkat dan Akar

Pangkat pecahan dan akar adalah dua cara untuk menyatakan operasi yang sama. Model peluruhan berikut memakai masukan setengah jam untuk menunjukkan bahwa pangkat satu per dua sama dengan akar kuadrat.

Anggap $f(x)$ menyatakan jumlah obat yang tersisa di dalam tubuh $x$ jam setelah pemberian dosis. Jumlah awalnya $50$ satuan dan menjadi setengah setiap satu jam:

f(x)=50(0{,}5)^x

Tiga puluh menit sama dengan setengah jam, sehingga masukan yang benar adalah:

x=\frac{30}{60}=\frac12

Jumlah obat yang tersisa setelah tiga puluh menit adalah:

\begin{aligned} f\left(\frac12\right) &=50(0{,}5)^{\frac12} \\ &=50\sqrt{0{,}5} \\ &\approx35{,}36 \end{aligned}

Kesamaan $(0{,}5)^{\frac12}=\sqrt{0{,}5}$ menunjukkan hubungan antara notasi pangkat dan notasi akar. Model mengukur $x$ dalam jam, sehingga $x=30$ berarti tiga puluh jam.

Definisi Bentuk Akar

Untuk $a>0$ , $m\in\mathbb{Z}$ , dan $n\in\mathbb{N}$ , definisi bernilai realnya adalah:

a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}

Definisi ini menyatakan bahwa pangkat pecahan dan bentuk akar tersebut bernilai sama. Jika $n$ ganjil, bilangan real negatif juga dapat memiliki akar pangkat $n$ yang real. Jika $n$ genap, bilangan negatif di dalam akar tidak memiliki akar real.

Menyederhanakan Bentuk Akar

Sederhanakan $(2\sqrt{x})(3\sqrt[3]{x})$ untuk $x>0$ .

Tulis kedua akar sebagai pangkat, kalikan koefisiennya, lalu jumlahkan pangkatnya:

\begin{align} (2\sqrt{x})(3\sqrt[3]{x}) &= (2x^{\frac{1}{2}})(3x^{\frac{1}{3}}) \\ &= 2 \cdot 3 \cdot x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \\ &= 6x^{\frac{3+2}{6}} \\ &= 6x^{\frac{5}{6}} \\ &= 6\sqrt[6]{x^5} \end{align}

Jadi, bentuk sederhana yang setara adalah $6x^{\frac56}$ dan $6\sqrt[6]{x^5}$ .

Jalan Pintas yang Keliru

Akar tidak dapat didistribusikan terhadap penjumlahan. Secara umum:

\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}

Satu contoh penyangkal sudah cukup untuk menunjukkan bahwa bentuk tersebut bukan identitas. Ambil $a=4$ dan $b=9$ :

\begin{aligned} \sqrt{4+9} &=\sqrt{13}\neq\sqrt4+\sqrt9 \\ &=2+3 \\ &=5 \end{aligned}

Pilih kuadrat sempurna agar kedua bentuk menghasilkan bilangan bulat yang dapat dibandingkan langsung:

\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

Karena $5\neq7$ , kedua bentuk itu tidak dapat saling menggantikan. Biarkan penjumlahan tetap berada di dalam akar sampai ada langkah aljabar sah yang mengubahnya.