Membuktikan Sifat Eksponen

Nyatakan Domain Sebelum Menggunakan Sifat

Sifat eksponen bergantung pada jenis pangkat dan tanda bilangan pokok. Tujuh identitas berikut berguna, tetapi syaratnya merupakan bagian dari setiap pernyataan.

Sifat	Identitas	Syarat yang digunakan
Perkalian dengan bilangan pokok sama	$a^m a^n=a^{m+n}$	$a\neq0$ , $m,n\in\mathbb{Z}$
Pembagian dengan bilangan pokok sama	$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$	$a\neq0$ , $m,n\in\mathbb{Z}$
Pangkat dari suatu pangkat	$(a^m)^n=a^{mn}$	$a\neq0$ , $m,n\in\mathbb{Z}$
Pangkat dari perkalian	$(ab)^m=a^m b^m$	$a,b\neq0$ , $m\in\mathbb{Z}$
Pangkat dari pembagian	$\left(\frac ab\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$	$a,b\neq0$ , $m\in\mathbb{Z}$
Pangkat rasional berpenyebut sama	$a^{m/n}a^{p/n}=a^{(m+p)/n}$	$a>0$ , $m,n,p\in\mathbb{Z}$ , $n\neq0$
Pangkat rasional umum	$a^{m/n}a^{p/q}=a^{(mq+pn)/(nq)}$	$a>0$ , $m,n,p,q\in\mathbb{Z}$ , $n,q\neq0$

Sifat untuk pangkat bulat kadang dapat diperluas ke domain lain, tetapi perluasan tersebut membutuhkan syarat tambahan. Dengan syarat yang tercantum pada tabel, setiap bentuk terdefinisi dengan jelas pada bilangan real.

Pembuktian untuk Pangkat Bulat

Pembuktian berikut menuliskan setiap pangkat sebagai perkalian berulang. Bentuk itu menunjukkan langsung mengapa pangkatnya dijumlahkan, dikurangkan, atau dikalikan. Bacalah setiap pembuktian sebagai rangkaian kesamaan yang pendek, lalu periksa bahwa tiap langkah hanya memakai definisi pangkat.

Perkalian dengan Bilangan Pokok Sama

Untuk bilangan bulat positif $m$ dan $n$ , tuliskan setiap pangkat sebagai perkalian berulang:

a^m=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{m\text{ faktor}}

Kasus nol mengikuti $a^0=1$ . Pangkat bulat negatif mengikuti $a^{-k}=\frac1{a^k}$ . Karena itu, $a$ harus tidak nol.

Pembagian dengan Bilangan Pokok Sama

Pembagian menghapus $n$ faktor dari pembilang saat $m\geq n$ :

\frac{a^m}{a^n}=\frac{\overbrace{a\cdots a}^{m\text{ faktor}}}{\underbrace{a\cdots a}_{n\text{ faktor}}}=a^{m-n}

Jika $m<n$ , faktor yang tersisa berada di penyebut. Definisi pangkat negatif memberikan hasil yang sama:

\frac{a^m}{a^n}=\frac1{a^{n-m}}=a^{-(n-m)}=a^{m-n}

Pangkat dari Suatu Pangkat

Untuk $n$ positif, faktor $a^m$ muncul sebanyak $n$ kali:

\begin{aligned} (a^m)^n &=\underbrace{a^m a^m\cdots a^m}_{n\text{ faktor}} \\ &=a^{m+m+\cdots+m} \\ &=a^{mn} \end{aligned}

Sifat pangkat nol mencakup $n=0$ , sedangkan kebalikannya mencakup $n$ negatif.

Pangkat dari Perkalian dan Pembagian

Untuk $m$ positif, pengelompokan ulang faktor memberi:

(ab)^m=\underbrace{(ab)(ab)\cdots(ab)}_{m\text{ faktor}}=a^m b^m

Kasus nol dan negatif kembali mengikuti $x^0=1$ dan $x^{-k}=\frac1{x^k}$ . Syarat bilangan pokok tidak nol memastikan semua bentuk kebalikan terdefinisi.

Pembuktian untuk Pangkat Rasional

Untuk pangkat rasional, gunakan bilangan pokok positif agar setiap akar real terdefinisi secara konsisten. Pembuktian berikut memperluas setiap sifat pangkat bulat ke pangkat pecahan dengan menuliskan akarnya sebagai pangkat. Dengan begitu bentuk akar dapat diubah memakai sifat pangkat yang sudah dikenal.

Penyebut Sama

Gunakan sifat perkalian dengan bilangan pokok sama, lalu jumlahkan pecahannya:

a^{m/n}a^{p/n}=a^{m/n+p/n}

Penyebut Berbeda

Ubah pangkat ke penyebut bersama $nq$ terlebih dahulu:

a^{m/n}a^{p/q}=a^{m/n+p/q}

Menggunakan dan Memeriksa Sifat Pangkat

Contoh berikut memakai sifat pangkat lalu memeriksa hasilnya. Setiap contoh menyebut sifat yang dipakai, sehingga langkahnya bisa ditelusuri kembali. Tutup jawabannya, kerjakan sendiri, lalu pakai nama sifat itu untuk menemukan letak perbedaan kedua penyelesaian.

Menentukan Pangkat yang Belum Diketahui

Dua soal di bawah meminta kamu menentukan pangkat yang membuat kedua ruasnya sama. Tuliskan dulu kedua ruas dengan bilangan pokok yang sama, karena bilangan pokok yang sama memaksa pangkatnya sama.

Tentukan $p$ pada $(3^4)^2=3^p$ .
$(3^4)^2=3^{4\cdot2}=3^8$
Periksa $b^4 b^5=b^9$ untuk $b\neq0$ .
$b^4 b^5=b^{4+5}$
Kedua ruas memiliki bilangan pokok dan pangkat yang sama, sehingga identitas tersebut terbukti.
Tentukan $p$ pada $(3\pi)^p=27\pi^3$ .
$27\pi^3=3^3\pi^3=(3\pi)^3$

Menyederhanakan Bentuk

Setiap bentuk di bawah menggabungkan beberapa sifat pangkat. Kerjakan dari dalam ke luar, dan sederhanakan angkanya terpisah dari variabelnya supaya kesalahan pada satu bagian tidak tersembunyi di bagian lain.

Sederhanakan $\left(\frac{2^4 3^6}{2^3 3^2}\right)^3$ .
$\left(\frac{2^4 3^6}{2^3 3^2}\right)^3=\left(2^{4-3}3^{6-2}\right)^3$
Sederhanakan $(3u^3v^5)(9u^4v)$ .
$(3u^3v^5)(9u^4v)=27u^{3+4}v^{5+1}$
Untuk $n\neq0$ dan $r\neq0$ , sederhanakan $\left(\frac{n^{-1}r^4}{5n^{-6}r^{-4}}\right)^2$ .
$\begin{aligned} &\left(\frac{n^{-1}r^4}{5n^{-6}r^{-4}}\right)^2 \\ &=\left(\frac{n^{-1-(-6)}r^{4-(-4)}}5\right)^2 \end{aligned}$