Sifat Eksponen

Sifat-Sifat Eksponen

Terdapat beberapa sifat eksponen yang perlu dipahami:

1. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, dengan $a \neq 0, m, n$ bilangan bulat

   Ini berarti perkalian dua eksponen dengan basis sama menghasilkan eksponen baru dengan pangkat yang dijumlahkan.

2. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, dengan bilangan bulat

3. $(a^m)^n = a^{m \times n}$, dengan $a \neq 0, m, n$ bilangan bulat

4. $(ab)^m = a^m \times b^m$, dengan $a, b \neq 0$ , dan bilangan bulat

5. $\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$, dengan , dan bilangan bulat

6. $(a^\frac{m}{n})^p \cdot (a^\frac{p}{n}) = (a)^\frac{m+p}{n}$
7. $(a^\frac{m}{n}) \cdot (a^\frac{p}{q}) = (a)^\frac{m \cdot q + p \cdot n}{n \cdot q}$

Pentingnya Syarat pada Setiap Sifat

Setiap sifat eksponen memiliki syarat tertentu:

• Pada sifat $1$, $2$, dan $3$, nilai $a \neq 0$ karena eksponen dengan basis $0$ hanya terdefinisi untuk pangkat positif.
• Pada sifat $4$, nilai $a, b \neq 0$ untuk memastikan eksponen terdefinisi.
• Pada sifat $5$, nilai $b \neq 0$ untuk menghindari pembagian dengan nol.
• Pada sifat $6$ dan $7$, nilai $a > 0$ karena eksponen rasional pada bilangan negatif dapat menghasilkan bilangan kompleks.

Pemahaman sifat-sifat eksponen ini sangat penting sebagai dasar untuk pembelajaran matematika lanjutan, seperti logaritma, fungsi eksponen, dan kalkulus.

Contoh Penyelesaian

1. Sederhanakan $\frac{2^5 \times 2^3}{2^2}$

   $$\frac{2^5 \times 2^3}{2^2} = \frac{2^{5+3}}{2^2} = \frac{2^8}{2^2} = 2^{8-2} = 2^6 = 64$$

2. Sederhanakan $2^2 \cdot 2^3$

   $$2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 = 32$$

3. Sederhanakan $2^5 \cdot 2^2$

   $$2^5 \cdot 2^2 = 2^{5+2} = 2^7 = 128$$

4. Sederhanakan $2^3 \cdot 2^7$

   $$2^3 \cdot 2^7 = 2^{3+7} = 2^{10} = 1024$$

5. Sederhanakan $\frac{2^8}{2^6}$

   $$\frac{2^8}{2^6} = 2^{8-6} = 2^2 = 4$$

6. Sederhanakan $\frac{2^{10}}{2^3}$

   $$\frac{2^{10}}{2^3} = 2^{10-3} = 2^7 = 128$$

7. Sederhanakan $\frac{2^6}{2^4}$

   $$\frac{2^6}{2^4} = 2^{6-4} = 2^2 = 4$$

8. Sederhanakan $(2^3)^3$

   $$(2^3)^3 = 2^{3 \times 3} = 2^9 = 512$$

9. Sederhanakan $(2^4)^2$

   $$(2^4)^2 = 2^{4 \times 2} = 2^8 = 256$$

10. Sederhanakan $(2^2)^5$

    $$(2^2)^5 = 2^{2 \times 5} = 2^{10} = 1024$$

Pembagian dua eksponen dengan basis sama menghasilkan eksponen baru dengan pangkat yang dikurangkan.

Eksponen dari eksponen berarti pangkat dikali dengan pangkat luar.

Eksponen dari perkalian sama dengan perkalian masing-masing basis berpangkat sama.

Eksponen dari pembagian sama dengan pembagian masing-masing basis berpangkat sama.

, dengan $a > 0$, $\frac{m}{n}$ dan $\frac{p}{n}$ bilangan rasional dengan $n \neq 0$

, dengan $a > 0$, $\frac{m}{n}$ dan $\frac{p}{q}$ bilangan rasional dengan $n, q \neq 0$