Sifat Eksponen

Membaca Pola Pangkat Dua

Tabel berikut menunjukkan pola berulang. Turun satu baris berarti mengalikan nilai dengan $2$ karena pangkatnya bertambah satu.

$2^n$	Nilai
$2^1$	$2$
$2^2$	$4$
$2^3$	$8$
$2^4$	$16$
$2^5$	$32$
$2^6$	$64$
$2^7$	$128$
$2^8$	$256$
$2^9$	$512$
$2^{10}$	$1024$

Sebagai contoh, $2^5\cdot2^3$ menggabungkan lima faktor dua dengan tiga faktor dua lainnya. Hasilnya memiliki delapan faktor dua, sehingga $2^5\cdot2^3=2^8$ .

Tujuh Sifat Eksponen

Bentuk dalam soal	Sifat	Syarat yang digunakan
Mengalikan bilangan pokok sama	$a^m a^n=a^{m+n}$	$a\neq0$ , $m,n\in\mathbb{Z}$
Membagi bilangan pokok sama	$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$	$a\neq0$ , $m,n\in\mathbb{Z}$
Memangkatkan suatu pangkat	$(a^m)^n=a^{mn}$	$a\neq0$ , $m,n\in\mathbb{Z}$
Memangkatkan perkalian	$(ab)^m=a^m b^m$	$a,b\neq0$ , $m\in\mathbb{Z}$
Memangkatkan pembagian	$\left(\frac ab\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$	$a,b\neq0$ , $m\in\mathbb{Z}$
Mengalikan pangkat rasional berpenyebut sama	$a^{m/n}a^{p/n}=a^{(m+p)/n}$	$a>0$ , $m,n,p\in\mathbb{Z}$ , $n\neq0$
Mengalikan pangkat rasional umum	$a^{m/n}a^{p/q}=a^{(mq+pn)/(nq)}$	$a>0$ , $m,n,p,q\in\mathbb{Z}$ , $n,q\neq0$

Bilangan pokok tetap sama ketika bilangan pokok yang sama dikalikan atau dibagi. Hanya pangkatnya yang digabungkan. Sebaliknya, pangkat di luar tanda kurung bekerja pada seluruh bentuk di dalam tanda kurung.

Syarat Penggunaan Sifat Eksponen

Bilangan pokok nol dapat digunakan pada beberapa pangkat positif, tetapi tidak pada pangkat negatif karena $0^{-1}$ memerlukan pembagian dengan nol. Karena itu, sifat pangkat bulat menggunakan $a\neq0$ sebagai satu syarat yang konsisten.
Bentuk pembagian juga memerlukan penyebut yang tidak nol.
Untuk pangkat rasional, penggunaan $a>0$ membuat setiap akar dan pangkat real terdefinisi tanpa ambiguitas. Beberapa contoh khusus dengan bilangan pokok negatif memang bernilai real, tetapi satu aturan tanpa batasan tidak dapat mencakup semua pangkat rasional.

Setiap syarat menentukan kapan suatu sifat berlaku. Periksa syarat untuk sifat yang akan digunakan.

Bentuk Operasi Menentukan Sifat Eksponen

Tabel menghubungkan setiap operasi pada bentuk dengan langkah pertama penyederhanaannya. Temukan operasinya, lalu ikuti baris yang sesuai.

Pola pada bentuk	Langkah pertama
Bilangan pokok sama dikalikan	Jumlahkan pangkat
Bilangan pokok sama dibagi	Kurangi dengan pangkat penyebut
Pangkat berada di luar pangkat	Kalikan pangkat
Perkalian atau pembagian di dalam tanda kurung	Sebarkan pangkat luar
Pangkat rasional berpenyebut berbeda	Ubah ke penyebut bersama

Menyederhanakan Perkalian Pembagian dan Perpangkatan

Contoh di bawah menggabungkan beberapa sifat dalam satu bentuk. Pakai satu sifat per langkah dan biarkan bilangan pokoknya tetap. Tuliskan bentuk antara pada setiap langkah, karena di situlah kamu bisa melihat sifat yang dipakai.

Menggabungkan Perkalian dan Pembagian

Setiap soal di bawah menggabungkan perkalian dan pembagian pangkat dengan bilangan pokok yang sama. Jumlahkan pangkat faktor di pembilang, kurangkan pangkat faktor di penyebut, dan biarkan bilangan pokoknya tetap.

Sederhanakan $\frac{2^5\cdot2^3}{2^2}$ .
$\frac{2^5\cdot2^3}{2^2}=2^{5+3-2}$
Sederhanakan $2^2\cdot2^3$ .

$2^2\cdot2^3=2^{2+3}=2^5=32$
Sederhanakan $2^5\cdot2^2$ .

$2^5\cdot2^2=2^{5+2}=2^7=128$
Sederhanakan $2^3\cdot2^7$ .

$2^3\cdot2^7=2^{3+7}=2^{10}=1024$
Sederhanakan $\frac{2^8}{2^6}$ .

$\frac{2^8}{2^6}=2^{8-6}=2^2=4$
Sederhanakan $\frac{2^{10}}{2^3}$ .

$\frac{2^{10}}{2^3}=2^{10-3}=2^7=128$
Sederhanakan $\frac{2^6}{2^4}$ .

$\frac{2^6}{2^4}=2^{6-4}=2^2=4$

Pangkat dari Suatu Pangkat

Setiap bentuk di bawah memangkatkan suatu pangkat dengan pangkat lain. Kalikan kedua pangkatnya dan biarkan bilangan pokoknya tetap, lalu periksa hasilmu dengan nilai angkanya pada pembahasan.

Sederhanakan $(2^3)^3$ .

$(2^3)^3=2^{3\cdot3}=2^9=512$
Sederhanakan $(2^4)^2$ .

$(2^4)^2=2^{4\cdot2}=2^8=256$
Sederhanakan $(2^2)^5$ .

$(2^2)^5=2^{2\cdot5}=2^{10}=1024$

Pangkat Rasional

Sederhanakan $2^{1/3}2^{2/3}$ .
$2^{1/3}2^{2/3}=2^{(1+2)/3}$
Sederhanakan $3^{1/2}3^{1/3}$ .
$3^{1/2}3^{1/3}=3^{3/6+2/6}$

Pada setiap contoh, operasi dan susunan bilangan pokok menentukan sifat yang digunakan. Membaca struktur tersebut terlebih dahulu lebih andal daripada mencoba mengingat rumus tanpa konteks.