Fungsi Akar

Masukan dan Hasil pada Fungsi Akar Kuadrat

Fungsi akar menerapkan akar kuadrat utama pada suatu ekspresi. Bentuknya $f(x) = \sqrt{g(x)}$ , dengan $g(x)$ sebagai radikan, yaitu ekspresi di bawah tanda akar.

Fungsi induknya adalah $f(x) = \sqrt{x}$ . Fungsi ini memasangkan setiap input non-negatif dengan akar kuadrat utamanya yang juga non-negatif.

Karakteristik Fungsi Akar

Fungsi akar memiliki tiga ciri utama:

Domain terbatas: Karena akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi dalam bilangan real, domain fungsi akar terbatas pada nilai-nilai yang membuat ekspresi di dalam akar bernilai non-negatif.
Grafik induk yang khas: Grafik $y=\sqrt{x}$ dimulai dari $(0,0)$ dan naik semakin lambat saat $x$ membesar. Transformasi dapat menggeser, meregangkan, atau mencerminkan bentuk ini.
Akar utama non-negatif: Nilai $\sqrt{g(x)}$ selalu non-negatif. Namun, pengali atau translasi di luar akar tetap dapat membuat nilai fungsi hasil transformasi menjadi negatif.

Domain dan Range Fungsi Akar

Bentuk di dalam akar tidak boleh negatif, dan batas itulah yang menentukan domain. Range hanya memuat nilai tak negatif, karena hasil akar tidak pernah bernilai negatif.

Domain berisi nilai masukan yang membuat ekspresi di dalam akar tidak negatif. Range berisi nilai keluaran yang dapat dihasilkan fungsi.

Menentukan Domain

Domain fungsi akar $f(x) = \sqrt{g(x)}$ adalah semua nilai $x$ yang membuat $g(x) \geq 0$ .

Langkah-langkah menentukan domain:

Langkah	Penjelasan	Contoh: $f(x) = \sqrt{x-2}$
$1$	Identifikasi ekspresi dalam akar	$g(x) = x-2$
$2$	Buat pertidaksamaan $g(x) \geq 0$	$x-2 \geq 0$
$3$	Selesaikan pertidaksamaan	$x \geq 2$
$4$	Tuliskan domain	$D_f = \{x \mid x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}$

Menentukan Range

Range fungsi akar adalah semua nilai output yang mungkin dihasilkan oleh fungsi tersebut.

Pada $f(x) = \sqrt{x-2}$ , radikannya dapat menghasilkan semua nilai mulai dari nol. Karena itu, akar kuadrat utamanya memiliki range

R_f = \{y \mid y \geq 0, y \in \mathbb{R}\}

Grafik Fungsi Akar Dasar

Grafik dasar hanya ada untuk $x \geq 0$ dan melalui titik $(0,0)$ , $(1,1)$ , serta $(4,2)$ . Untuk menaikkan keluaran satu satuan lagi, masukan harus bertambah lebih besar daripada sebelumnya.

Fungsi Akar Dasar:

f(x) = \sqrt{x}

Grafik fungsi akar dasar dimulai dari titik

(0,0)

dan naik dengan kecepatan yang semakin lambat.

Pergeseran, peregangan, dan pencerminan memindahkan titik awal grafik beserta posisi kurvanya. Pergeseran memindahkan titik awal, peregangan mengubah seberapa cepat kurvanya naik, dan pencerminan membalik arah bukaannya.

Translasi Horizontal

Fungsi $f(x) = \sqrt{x-h}$ menggeser grafik fungsi akar dasar sejauh $h \text{ satuan}$ ke kanan (jika $h > 0$ ) atau ke kiri (jika $h < 0$ ).

Translasi Horizontal Fungsi Akar

Perbandingan

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = \sqrt{x-2}

, dan

h(x) = \sqrt{x+2}

Translasi Vertikal

Fungsi $f(x) = \sqrt{x} + k$ menggeser grafik fungsi akar dasar sejauh $k \text{ satuan}$ ke atas (jika $k > 0$ ) atau ke bawah (jika $k < 0$ ).

Fungsi	Transformasi	Domain	Range
$f(x) = \sqrt{x}$	Fungsi dasar	$x \geq 0$	$y \geq 0$
$f(x) = \sqrt{x} + 2$	Geser $2 \text{ satuan}$ ke atas	$x \geq 0$	$y \geq 2$
$f(x) = \sqrt{x} - 3$	Geser $3 \text{ satuan}$ ke bawah	$x \geq 0$	$y \geq -3$

Dilatasi

Pada $f(x) = a\sqrt{x}$ , nilai $|a|>1$ meregangkan grafik secara vertikal, sedangkan $0<|a|<1$ memampatkannya. Nilai $a$ yang negatif juga mencerminkan grafik terhadap sumbu $x$ .

Dilatasi Vertikal Fungsi Akar

Perbandingan

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = 2\sqrt{x}

, dan

h(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}

Fungsi Akar Bentuk Umum

Untuk kasus nondegenerat $a\neq 0$ dan $b\neq 0$ , fungsi akar yang ditransformasi berbentuk:

f(x) = a\sqrt{b(x-h)} + k

Pada bentuk ini:

$a$ menentukan skala vertikal dan, jika $a<0$ , pencerminan terhadap sumbu $x$
$b$ menentukan skala horizontal dan, jika $b<0$ , pencerminan horizontal
$h$ menentukan translasi horizontal
$k$ menentukan translasi vertikal

Domain real ditentukan oleh $b(x-h)\geq 0$ . Tanda $a$ kemudian menentukan apakah range memanjang ke atas atau ke bawah dari $y=k$ .

Langkah-langkah menggambar grafik:

Langkah	Tindakan	Contoh: $f(x) = 2\sqrt{x-1} + 3$
$1$	Tentukan titik awal	$x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$ , $f(1) = 3$ , Titik: $(1, 3)$
$2$	Tentukan domain	$x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$
$3$	Buat tabel nilai	Pilih beberapa nilai $x \geq 1$
$4$	Hitung nilai fungsi	Untuk $x = 2$ : $f(2) = 2\sqrt{1} + 3 = 5$
$5$	Plot titik-titik	Plot $(1,3)$ , $(2,5)$ , $(5,7)$ , dst.
$6$	Hubungkan titik	Buat kurva mulus melalui titik-titik

Persamaan Fungsi Akar

Untuk menyelesaikan persamaan yang memuat akar kuadrat, pisahkan bentuk akarnya, kuadratkan kedua ruas, selesaikan persamaan hasilnya, lalu periksa setiap kandidat pada persamaan semula. Penguadratan tidak selalu dapat dibalik untuk sembarang ekspresi real, sehingga dapat menghasilkan solusi semu.

Langkah	Penjelasan	Contoh: $\sqrt{2x+3} = 5$
$1$	Isolasi akar	Sudah terisolasi
$2$	Kuadratkan kedua ruas	$(\sqrt{2x+3})^2 = 5^2$
$3$	Sederhanakan	$2x+3 = 25$
$4$	Selesaikan	$2x = 22 \Rightarrow x = 11$
$5$	Verifikasi	$\sqrt{2(11)+3} = \sqrt{25} = 5$ ✓

Pertidaksamaan Fungsi Akar

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan akar, tentukan domain lebih dahulu. Sebelum menguadratkan, periksa juga tanda ruas yang tidak memuat bentuk akar agar pertidaksamaan yang diperoleh tetap ekuivalen.

Contoh: Selesaikan $\sqrt{x-1} < 3$

\text{Syarat: } x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1

Karena kedua ruas non-negatif pada domain, penguadratan mempertahankan pertidaksamaan. Gabungan $x\geq 1$ dan $x<10$ menghasilkan $1 \leq x < 10$ .

Latihan Soal

Soal-soal ini meminta domain, daerah hasil, atau grafik fungsi akar. Mulailah dari syarat di dalam tanda akar.

Tentukan domain dan range dari fungsi $f(x) = \sqrt{3x-6}$
Gambarkan grafik fungsi $g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$
Selesaikan persamaan $\sqrt{x+5} + \sqrt{x} = 5$
Sebuah roket diluncurkan vertikal. Ketinggiannya setelah $t \text{ detik}$ diberikan oleh $h(t) = 100\sqrt{t} \text{ meter}$ . Berapa ketinggian roket setelah $9 \text{ detik}$ ?
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $2\sqrt{x-3} \geq 6$

Pembahasan

Radikan harus non-negatif:
$3x-6\geq 0$
Jadi, $D_f=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq 2\}$ . Untuk $x\geq 2$ , nilai $3x-6$ mencakup semua bilangan nonnegatif. Karena itu, $R_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y\geq 0\}$ .

Menggambar grafik $g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$

Langkah-langkah menggambar:

Langkah	Penjelasan	Detail untuk $g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$
$1$	Identifikasi transformasi	$a = -1$ (refleksi terhadap sumbu $x$ ), $h = -4$ (geser $4 \text{ satuan}$ ke kiri), $k = 2$ (geser $2 \text{ satuan}$ ke atas)
$2$	Tentukan titik awal	$x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$ , $g(-4) = 0 + 2 = 2$ , Titik awal: $(-4, 2)$
$3$	Tentukan domain	$x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$
$4$	Tentukan range	Karena $a = -1 < 0$ , grafik turun dari titik awal, sehingga $y \leq 2$
$5$	Buat tabel nilai	Pilih nilai $x \geq -4$

Tabel nilai:

$x$	$x+4$	$\sqrt{x+4}$	$-\sqrt{x+4}$	$g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$
$-4$	$0$	$0$	$0$	$2$
$-3$	$1$	$1$	$-1$	$1$
$0$	$4$	$2$	$-2$	$0$
$5$	$9$	$3$	$-3$	$-1$
$12$	$16$	$4$	$-4$	$-2$

Grafik

g(x) = -\sqrt{x+4} + 2

Grafik fungsi akar yang mengalami refleksi terhadap sumbu

x

dan translasi.

Grafik dimulai dari $(-4,2)$ . Tanda negatif mencerminkan grafik induk terhadap sumbu $x$ , sehingga kurva menurun ke kanan dan nilai fungsinya selalu kurang dari atau sama dengan $2$ .

Domain mensyaratkan $x\geq 0$ . Pisahkan salah satu bentuk akar:
$\sqrt{x+5}=5-\sqrt{x}$
Periksa pada persamaan semula: $\sqrt{4+5}+\sqrt{4}=3+2=5$ . Jadi, $x=4$ merupakan solusi yang sah.
Substitusikan $t=9$ ke dalam model:

$h(9)=100\sqrt{9}=100\cdot 3=300\text{ m}.$

Model memakai $t\geq 0$ , dan $9$ berada dalam domain tersebut. Ketinggian menurut model adalah $300\text{ m}$ .
Catat dahulu domain $x-3\geq 0$ , sehingga $x\geq 3$ . Bagi dengan bilangan positif $2$ , lalu kuadratkan kedua ruas yang non-negatif:
$2\sqrt{x-3}\geq 6$
Irisan hasil ini dengan domain tetap memberikan $x\geq 12$ .

Masukan dan Hasil pada Fungsi Akar Kuadrat

Fungsi akar menerapkan akar kuadrat utama pada suatu ekspresi. Bentuknya $f(x) = \sqrt{g(x)}$ , dengan $g(x)$ sebagai radikan, yaitu ekspresi di bawah tanda akar.

Fungsi induknya adalah $f(x) = \sqrt{x}$ . Fungsi ini memasangkan setiap input non-negatif dengan akar kuadrat utamanya yang juga non-negatif.

Karakteristik Fungsi Akar

Fungsi akar memiliki tiga ciri utama:

Domain terbatas: Karena akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi dalam bilangan real, domain fungsi akar terbatas pada nilai-nilai yang membuat ekspresi di dalam akar bernilai non-negatif.
Grafik induk yang khas: Grafik $y=\sqrt{x}$ dimulai dari $(0,0)$ dan naik semakin lambat saat $x$ membesar. Transformasi dapat menggeser, meregangkan, atau mencerminkan bentuk ini.
Akar utama non-negatif: Nilai $\sqrt{g(x)}$ selalu non-negatif. Namun, pengali atau translasi di luar akar tetap dapat membuat nilai fungsi hasil transformasi menjadi negatif.

Domain dan Range Fungsi Akar

Bentuk di dalam akar tidak boleh negatif, dan batas itulah yang menentukan domain. Range hanya memuat nilai tak negatif, karena hasil akar tidak pernah bernilai negatif.

Domain berisi nilai masukan yang membuat ekspresi di dalam akar tidak negatif. Range berisi nilai keluaran yang dapat dihasilkan fungsi.

Menentukan Domain

Domain fungsi akar $f(x) = \sqrt{g(x)}$ adalah semua nilai $x$ yang membuat $g(x) \geq 0$ .

Langkah-langkah menentukan domain:

Langkah	Penjelasan	Contoh: $f(x) = \sqrt{x-2}$
$1$	Identifikasi ekspresi dalam akar	$g(x) = x-2$
$2$	Buat pertidaksamaan $g(x) \geq 0$	$x-2 \geq 0$
$3$	Selesaikan pertidaksamaan	$x \geq 2$
$4$	Tuliskan domain	$D_f = \{x \mid x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}$

Menentukan Range

Range fungsi akar adalah semua nilai output yang mungkin dihasilkan oleh fungsi tersebut.

Pada $f(x) = \sqrt{x-2}$ , radikannya dapat menghasilkan semua nilai mulai dari nol. Karena itu, akar kuadrat utamanya memiliki range

R_f = \{y \mid y \geq 0, y \in \mathbb{R}\}

Grafik Fungsi Akar Dasar

Grafik dasar hanya ada untuk $x \geq 0$ dan melalui titik $(0,0)$ , $(1,1)$ , serta $(4,2)$ . Untuk menaikkan keluaran satu satuan lagi, masukan harus bertambah lebih besar daripada sebelumnya.

Fungsi Akar Dasar:

f(x) = \sqrt{x}

Grafik fungsi akar dasar dimulai dari titik

(0,0)

dan naik dengan kecepatan yang semakin lambat.

Transformasi Fungsi Akar

Translasi Horizontal

Fungsi $f(x) = \sqrt{x-h}$ menggeser grafik fungsi akar dasar sejauh $h \text{ satuan}$ ke kanan (jika $h > 0$ ) atau ke kiri (jika $h < 0$ ).

Translasi Horizontal Fungsi Akar

Perbandingan

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = \sqrt{x-2}

, dan

h(x) = \sqrt{x+2}

Translasi Vertikal

Fungsi $f(x) = \sqrt{x} + k$ menggeser grafik fungsi akar dasar sejauh $k \text{ satuan}$ ke atas (jika $k > 0$ ) atau ke bawah (jika $k < 0$ ).

Fungsi	Transformasi	Domain	Range
$f(x) = \sqrt{x}$	Fungsi dasar	$x \geq 0$	$y \geq 0$
$f(x) = \sqrt{x} + 2$	Geser $2 \text{ satuan}$ ke atas	$x \geq 0$	$y \geq 2$
$f(x) = \sqrt{x} - 3$	Geser $3 \text{ satuan}$ ke bawah	$x \geq 0$	$y \geq -3$

Dilatasi

Pada $f(x) = a\sqrt{x}$ , nilai $|a|>1$ meregangkan grafik secara vertikal, sedangkan $0<|a|<1$ memampatkannya. Nilai $a$ yang negatif juga mencerminkan grafik terhadap sumbu $x$ .

Dilatasi Vertikal Fungsi Akar

Perbandingan

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = 2\sqrt{x}

, dan

h(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}

Fungsi Akar Bentuk Umum

Untuk kasus nondegenerat $a\neq 0$ dan $b\neq 0$ , fungsi akar yang ditransformasi berbentuk:

f(x) = a\sqrt{b(x-h)} + k

Pada bentuk ini:

$a$ menentukan skala vertikal dan, jika $a<0$ , pencerminan terhadap sumbu $x$
$b$ menentukan skala horizontal dan, jika $b<0$ , pencerminan horizontal
$h$ menentukan translasi horizontal
$k$ menentukan translasi vertikal

Domain real ditentukan oleh $b(x-h)\geq 0$ . Tanda $a$ kemudian menentukan apakah range memanjang ke atas atau ke bawah dari $y=k$ .

Langkah-langkah menggambar grafik:

Langkah	Tindakan	Contoh: $f(x) = 2\sqrt{x-1} + 3$
$1$	Tentukan titik awal	$x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$ , $f(1) = 3$ , Titik: $(1, 3)$
$2$	Tentukan domain	$x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$
$3$	Buat tabel nilai	Pilih beberapa nilai $x \geq 1$
$4$	Hitung nilai fungsi	Untuk $x = 2$ : $f(2) = 2\sqrt{1} + 3 = 5$
$5$	Plot titik-titik	Plot $(1,3)$ , $(2,5)$ , $(5,7)$ , dst.
$6$	Hubungkan titik	Buat kurva mulus melalui titik-titik

Persamaan Fungsi Akar

Langkah	Penjelasan	Contoh: $\sqrt{2x+3} = 5$
$1$	Isolasi akar	Sudah terisolasi
$2$	Kuadratkan kedua ruas	$(\sqrt{2x+3})^2 = 5^2$
$3$	Sederhanakan	$2x+3 = 25$
$4$	Selesaikan	$2x = 22 \Rightarrow x = 11$
$5$	Verifikasi	$\sqrt{2(11)+3} = \sqrt{25} = 5$ ✓

Pertidaksamaan Fungsi Akar

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan akar, tentukan domain lebih dahulu. Sebelum menguadratkan, periksa juga tanda ruas yang tidak memuat bentuk akar agar pertidaksamaan yang diperoleh tetap ekuivalen.

Contoh: Selesaikan $\sqrt{x-1} < 3$

\text{Syarat: } x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1

Karena kedua ruas non-negatif pada domain, penguadratan mempertahankan pertidaksamaan. Gabungan $x\geq 1$ dan $x<10$ menghasilkan $1 \leq x < 10$ .

Latihan Soal

Soal-soal ini meminta domain, daerah hasil, atau grafik fungsi akar. Mulailah dari syarat di dalam tanda akar.

Tentukan domain dan range dari fungsi $f(x) = \sqrt{3x-6}$
Gambarkan grafik fungsi $g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$
Selesaikan persamaan $\sqrt{x+5} + \sqrt{x} = 5$
Sebuah roket diluncurkan vertikal. Ketinggiannya setelah $t \text{ detik}$ diberikan oleh $h(t) = 100\sqrt{t} \text{ meter}$ . Berapa ketinggian roket setelah $9 \text{ detik}$ ?
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $2\sqrt{x-3} \geq 6$

Pembahasan

Radikan harus non-negatif:
$3x-6\geq 0$
Jadi, $D_f=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq 2\}$ . Untuk $x\geq 2$ , nilai $3x-6$ mencakup semua bilangan nonnegatif. Karena itu, $R_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y\geq 0\}$ .

Menggambar grafik $g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$

Langkah-langkah menggambar:

Langkah	Penjelasan	Detail untuk $g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$
$1$	Identifikasi transformasi	$a = -1$ (refleksi terhadap sumbu $x$ ), $h = -4$ (geser $4 \text{ satuan}$ ke kiri), $k = 2$ (geser $2 \text{ satuan}$ ke atas)
$2$	Tentukan titik awal	$x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$ , $g(-4) = 0 + 2 = 2$ , Titik awal: $(-4, 2)$
$3$	Tentukan domain	$x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$
$4$	Tentukan range	Karena $a = -1 < 0$ , grafik turun dari titik awal, sehingga $y \leq 2$
$5$	Buat tabel nilai	Pilih nilai $x \geq -4$

Tabel nilai:

$x$	$x+4$	$\sqrt{x+4}$	$-\sqrt{x+4}$	$g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$
$-4$	$0$	$0$	$0$	$2$
$-3$	$1$	$1$	$-1$	$1$
$0$	$4$	$2$	$-2$	$0$
$5$	$9$	$3$	$-3$	$-1$
$12$	$16$	$4$	$-4$	$-2$

Grafik

g(x) = -\sqrt{x+4} + 2

Grafik fungsi akar yang mengalami refleksi terhadap sumbu

x

dan translasi.

Grafik dimulai dari $(-4,2)$ . Tanda negatif mencerminkan grafik induk terhadap sumbu $x$ , sehingga kurva menurun ke kanan dan nilai fungsinya selalu kurang dari atau sama dengan $2$ .

Domain mensyaratkan $x\geq 0$ . Pisahkan salah satu bentuk akar:
$\sqrt{x+5}=5-\sqrt{x}$
Periksa pada persamaan semula: $\sqrt{4+5}+\sqrt{4}=3+2=5$ . Jadi, $x=4$ merupakan solusi yang sah.
Substitusikan $t=9$ ke dalam model:

$h(9)=100\sqrt{9}=100\cdot 3=300\text{ m}.$

Model memakai $t\geq 0$ , dan $9$ berada dalam domain tersebut. Ketinggian menurut model adalah $300\text{ m}$ .
Catat dahulu domain $x-3\geq 0$ , sehingga $x\geq 3$ . Bagi dengan bilangan positif $2$ , lalu kuadratkan kedua ruas yang non-negatif:
$2\sqrt{x-3}\geq 6$
Irisan hasil ini dengan domain tetap memberikan $x\geq 12$ .