Fungsi Eksponensial

Variabel Bebas sebagai Eksponen

Fungsi eksponensial menempatkan variabel bebas sebagai pangkat. Model pertumbuhan dan peluruhan berikut memakai bentuk umum $f(x) = a \cdot b^x$ dengan $a > 0$, $b > 0$, dan $b \neq 1$.

Komponen fungsi eksponensial:

Dalam fungsi $f(x) = a \cdot b^x$:

• $a$ adalah konstanta pengali yang menentukan nilai awal fungsi
• $b$ adalah basis eksponensial yang menentukan laju pertumbuhan atau peluruhan
• $x$ adalah variabel bebas (eksponen)

Karakteristik Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial memiliki beberapa sifat khusus yang membedakannya dari fungsi lain. Bilangan pokoknya menentukan apakah grafiknya naik atau turun, dan nilai pada $x = 0$ selalu tetap. Bilangan pokok yang lebih besar dari satu membuat grafik naik makin cepat, sedangkan bilangan pokok antara nol dan satu membuat grafiknya turun.

Perilaku Grafik Fungsi Eksponensial

Dua identitas menentukan bentuk setiap grafik eksponensial: grafik selalu melewati titik saat masukannya nol, dan menjumlahkan dua masukan sama dengan mengalikan kedua nilai fungsinya. Kedua identitas itu memudahkan menghitung nilai baru.

Jenis Fungsi Eksponensial

Fungsi Pertumbuhan Eksponensial ($b > 1$):

• Nilai fungsi meningkat seiring bertambahnya $x$
• Grafik naik dari kiri ke kanan
• Contoh: $f(x) = 2^x$

Fungsi Peluruhan Eksponensial ($0 < b < 1$):

• Nilai fungsi menurun seiring bertambahnya $x$
• Grafik turun dari kiri ke kanan
• Contoh: $f(x) = (0{,}5)^x$

Grafik Fungsi Eksponensial

Berikut adalah visualisasi berbagai fungsi eksponensial:

Perbandingan nilai fungsi $f(x) = 2^x$ dan $g(x) = (0{,}5)^x$:

Transformasi Fungsi Eksponensial

Pergeseran vertikal memindahkan asimtotnya, sedangkan pergeseran horizontal memindahkan titik acuan pada grafik. Setiap konstanta yang ditambahkan pada fungsi menggeser grafik ke satu arah tetap, dan persamaan hasil transformasinya menunjukkan arah itu.

Translasi Vertikal

Fungsi $f(x) = a \cdot b^x + c$ menggeser grafik ke atas (jika $c > 0$) atau ke bawah (jika $c < 0$).

Translasi Horizontal

Fungsi $f(x) = a \cdot b^{x-h}$ menggeser grafik ke kanan jika $h > 0$ atau ke kiri jika $h < 0$. Pergeseran itu memindahkan setiap titik dengan besar yang sama, sehingga asimtotnya tetap dan bentuk kurvanya tidak berubah.

Aplikasi Fungsi Eksponensial

Pada contoh berikut, besaran berubah dengan faktor tetap pada setiap selang waktu yang sama. Faktor itu menyatakan laju pertumbuhan atau peluruhan, dan nilainya ditentukan dari data yang diberikan.

Besaran pada setiap contoh berikut berubah dengan faktor tetap dalam selang yang sama. Faktor tersebut menyatakan pertumbuhan populasi, peluruhan, atau pertambahan saldo karena bunga.

Pertumbuhan Populasi

Jika suatu populasi memiliki laju pertumbuhan proporsional yang tetap dan kondisinya tidak berubah, model eksponensial dapat menggambarkan pertumbuhannya. Jika populasi awal adalah $P_0$ dan laju pertumbuhan adalah $r$ per periode waktu, maka:

Contoh: Populasi bakteri yang berkembang biak setiap jam dengan laju $20\%$:

• Populasi awal: $1000 \text{ bakteri}$
• Laju pertumbuhan: $r = 0{,}2$
• Fungsi: $P(t) = 1000 \cdot (1{,}2)^t$

Tabel Pertumbuhan Bakteri

Model tersebut menghasilkan $2073{,}6$ dan $2488{,}32$ pada jam ke-$4$ dan ke-$5$. Tabel membulatkan kedua populasi itu ke banyak bakteri terdekat.

Peluruhan Radioaktif

Zat radioaktif meluruh mengikuti fungsi eksponensial. Jika massa awal adalah $M_0$ dan waktu paruh adalah $t_{1/2}$, maka:

Bunga Majemuk

Investasi dengan bunga majemuk tumbuh secara eksponensial. Jika modal awal $P$, suku bunga $r$ per tahun, dan waktu $t \text{ tahun}$:

Pada rumus ini, $n$ adalah banyaknya penggabungan bunga dalam satu tahun.

Persamaan Eksponensial

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang memuat variabel pada eksponen. Bentuk umum:

Metode 1: Menyamakan Basis

Jika $b^{f(x)} = b^{g(x)}$, maka $f(x) = g(x)$

Contoh: Selesaikan $2^{x+1} = 8$

Metode 2: Menggunakan Logaritma

Untuk $b>0$, $b\neq1$, dan $c>0$, selesaikan $b^x = c$ dengan logaritma:

Latihan

Setiap soal memberikan keterangan tentang fungsi eksponensial lalu meminta fungsinya atau salah satu nilainya, jadi tulis dulu bentuk umumnya lalu substitusikan titik yang diketahui.

1. Tentukan nilai dari $f(3)$ jika $f(x) = 5 \cdot 2^x$

2. Selesaikan persamaan $3^{2x-1} = 27$

3. Populasi suatu kota adalah $50{.}000 \text{ jiwa}$ dan tumbuh $3\%$ per tahun. Berapa populasinya setelah $10 \text{ tahun}$?

4. Suatu zat radioaktif memiliki waktu paruh $5 \text{ tahun}$. Jika massa awalnya $100 \text{ gram}$, berapa massa yang tersisa setelah $15 \text{ tahun}$?

Pembahasan

Tutup satu pembahasan, kerjakan sendiri, lalu bandingkan langkahmu dan nilai akhirmu. Kerjakan secara berurutan agar setiap langkah dapat diperiksa, karena satu langkah yang salah akan terbawa ke hasil akhir.

Menghitung nilai fungsi

Substitusikan $x = 3$ ke $f(x) = 5 \cdot 2^x$. Hitung pangkat terlebih dahulu, lalu kalikan dengan faktor awal.

Jadi, $f(3) = 40$.

Menyamakan basis

Tuliskan $27$ sebagai $3^3$. Karena basis positifnya sama, pangkatnya juga harus sama.

Pengecekan memberi $3^{2(2)-1} = 3^3 = 27$, sehingga solusinya benar.

Memodelkan pertumbuhan populasi

Populasi awalnya $P_0 = 50{.}000$, laju pertumbuhan tahunannya $r = 0{,}03$, dan waktunya $t = 10$ tahun. Faktor pertumbuhan per tahunnya adalah $1 + r = 1{,}03$.

Jumlah penduduk dibulatkan ke bilangan bulat terdekat.

Menggunakan waktu paruh

Lima belas tahun memuat $15/5 = 3$ periode waktu paruh. Artinya, massa dikalikan $1/2$ sebanyak tiga kali.

Setelah $15 \text{ tahun}$, massa yang tersisa adalah $12{,}5 \text{ gram}$.