Fungsi Rasional

Polinomial sebagai Pembilang dan Penyebut

Fungsi rasional adalah hasil bagi dua polinomial. Bentuk umumnya

Pada bentuk ini, $P(x)$ dan $Q(x)$ adalah polinomial, sedangkan $Q(x)$ bukan polinomial nol.

Setiap input yang membuat $Q(x)=0$ harus dikeluarkan dari domain. Batasan itu tetap menjadi bagian dari fungsi meskipun suatu faktor persekutuan kemudian habis dicoret.

Model Rasional dari Luas

Pak Budi merencanakan kandang ayam berbentuk persegi panjang dengan luas $100\text{ m}^2$. Misalkan panjangnya $x\text{ m}$ dan lebarnya $w\text{ m}$. Maka

Rumus ini merupakan fungsi rasional karena variabel muncul pada penyebut. Dalam situasi nyata, kedua ukuran harus positif. Jadi, domain yang bermakna secara fisik adalah $x>0$. Syarat $x\neq 0$ masih memuat ukuran negatif yang tidak sesuai dengan situasi tersebut.

Model ini juga menunjukkan hubungan timbal balik: jika kandang dibuat lebih panjang, lebarnya harus mengecil agar luasnya tetap.

Bentuk yang Sering Dijumpai

Beberapa hasil bagi polinomial muncul berulang dalam soal, misalnya $\frac{1}{x}$ atau $\frac{x^2-1}{x-1}$. Setiap bentuk punya asimtot dan titik tak terdefinisinya sendiri.

Fungsi rasional adalah hasil bagi dua polinomial, dan beberapa bentuknya sering muncul.

Bentuk Kebalikan

Bentuk kebalikan yang paling dasar adalah

Pada bentuk ini, $k$ adalah konstanta. Sebagai contoh, $f(x)=\frac{5}{x}$ memiliki domain $x\neq 0$.

Bentuk Linear per Linear

Jika pembilang dan penyebutnya linear,

Pada bentuk ini, penyebut harus memenuhi $cx+d\neq 0$. Contohnya, $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$ memiliki domain yang tidak memuat $x=1$.

Bentuk Berderajat Lebih Tinggi

Salah satu atau kedua polinomial dapat berderajat dua atau lebih. Sebagai contoh,

Fungsi ini tetap merupakan fungsi rasional dan domainnya tidak memuat $x=3$.

Menentukan Domain

Untuk menentukan domain real suatu fungsi rasional:

1. Samakan penyebut awal dengan nol.
2. Cari semua nilai yang membuatnya nol.
3. Keluarkan nilai-nilai tersebut dari himpunan bilangan real.

Ketiga langkah itu dipakai pada fungsi rasional yang penyebutnya bisa nol:

Penyebut bernilai nol ketika:

Jadi,

Menyederhanakan Tanpa Kehilangan Domain

Faktor persekutuan hanya boleh dicoret pada nilai yang membuat faktor itu tidak nol. Bentuk sederhana memberikan keluaran yang sama pada domain awal, tetapi tidak mengembalikan input yang sudah dikeluarkan.

Mencoret Pangkat Variabel yang Sama

Sederhanakan

Penyebut awal mensyaratkan $x\neq 0$. Pada domain itu,

Walaupun bentuk $2x$ terdefinisi saat $x=0$, fungsi rasional semula tidak terdefinisi di sana.

Mencoret Setelah Memfaktorkan

Sederhanakan

Catat dahulu $x\neq 2$, lalu faktorkan selisih dua kuadrat:

Grafiknya sama dengan garis $y=x+2$, kecuali terdapat lubang pada $x=2$.

Operasi pada Bentuk Rasional

Penjumlahan memerlukan penyebut yang sama, perkalian bisa langsung dikerjakan, sedangkan pembagian diselesaikan dengan mengalikan kebalikannya.

Menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan, dan membagi bentuk rasional mengikuti aturan pecahan.

Penjumlahan dan Pengurangan

Gunakan penyebut bersama dan pertahankan semua batasan dari penyebut awal.

Perkalian

Kalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut, lalu faktorkan sebelum mencoret:

Habisnya faktor $x$ tidak menghapus batasan awal $x\neq 0$.

Pembagian

Membagi dengan pecahan berarti mengalikan dengan kebalikannya:

Operasi ini memerlukan $b\neq 0$ dan $d\neq 0$ agar kedua pecahan awal terdefinisi, serta $c\neq 0$ agar pembaginya tidak bernilai nol.

Latihan

Setiap soal memberi bentuk rasional dan meminta domain atau bentuk sederhananya. Tentukan nilai yang tidak boleh dipakai lebih dulu, lalu sederhanakan.

1. Tentukan domain $f(x)=\frac{x+3}{x^2-9}$.

2. Sederhanakan $g(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$ dan pertahankan batasan awalnya.

3. Hitung $\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}$ dan nyatakan batasan domainnya.

4. Sebuah mobil menempuh jarak $300\text{ km}$ dengan kecepatan rata-rata $v\text{ km/jam}$. Tuliskan waktu tempuh sebagai fungsi $v$ dan nyatakan domain yang bermakna secara fisik.

Pembahasan

1. Pembilang tidak menentukan domain. Faktorkan penyebut:

   $$x^2-9=(x-3)(x+3)$$

   $$\begin{aligned} &(x-3)(x+3) = 0 \\ &\Longrightarrow x = 3 \text{ atau } x = -3. \end{aligned}$$

   Kedua nilai membuat penyebut awal bernilai nol. Jadi,

   $$D_f=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -3,\ x\neq 3\}.$$

2. Penyebut awal memberikan syarat $x\neq -1$. Faktorkan dan coret hanya pada domain tersebut:

   $$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}$$

   $$=x-1,\qquad x\neq -1.$$

   Rumus sederhana itu tetap memiliki lubang pada input $x=-1$.

3. Penyebut awal mensyaratkan $x\neq 1$ dan $x\neq -1$. Dengan $(x-1)(x+1)$ sebagai penyebut bersama,

   $$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}$$

   $$=\frac{x+1-2(x-1)}{(x-1)(x+1)}$$

   $$=\frac{x+1-2x+2}{(x-1)(x+1)}$$

   $$=\frac{3-x}{(x-1)(x+1)},\qquad x\neq -1,1.$$

4. Waktu sama dengan jarak dibagi kecepatan:

   $$\text{waktu}=\frac{\text{jarak}}{\text{kecepatan}}$$

   $$t(v)=\frac{300}{v}.$$

   Secara aljabar, $v\neq 0$. Untuk mobil yang sedang bergerak, kecepatan harus positif. Jadi, model fisiknya memakai $v>0$.