For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Fungsi piecewise (fungsi sepotong-sepotong) dipakai ketika satu situasi tidak cukup dijelaskan oleh satu rumus. Domainnya dibagi menjadi beberapa interval, lalu setiap interval memakai aturan sendiri.
Misalnya, biaya listrik bisa murah untuk pemakaian awal, lalu lebih mahal setelah melewati batas tertentu. Batas seperti ini menjadi tanda bahwa modelnya perlu ditulis per potongan.
Fungsi piecewise dapat ditulis dalam bentuk:
dengan adalah interval-interval yang membentuk partisi dari domain fungsi.
Saat membaca atau membuat fungsi piecewise, perhatikan tiga hal berikut:
Fungsi piecewise linear memakai fungsi linear pada setiap interval. Bentuk ini sering muncul ketika perubahan berlangsung dengan laju tetap, tetapi lajunya berubah setelah melewati titik tertentu.
Fungsi di atas dapat ditulis sebagai:
Perhatikan bahwa tiga baris pada rumus itu bukan tiga fungsi yang terpisah. Ketiganya bekerja sebagai satu fungsi, tetapi pilihan rumusnya bergantung pada nilai .
Fungsi piecewise juga bisa memakai potongan kuadratik. Ini berguna ketika salah satu bagian model berubah melengkung, bukan mengikuti garis lurus.
Fungsi piecewise kontinu jika grafiknya tidak melompat di titik sambung. Nilai dari kiri, nilai dari kanan, dan nilai fungsi di titik itu harus sama.
Syarat kontinuitas di titik :
Contoh fungsi piecewise kontinu:
Untuk kontinu di :
Fungsi piecewise diskontinu memiliki "lompatan" atau "lubang" pada titik-titik tertentu.
Banyak situasi nyata dapat dimodelkan dengan fungsi piecewise karena aturannya berubah setelah melewati batas tertentu. Tarif pajak progresif, biaya parkir bertingkat, dan tarif listrik bertingkat adalah contoh yang mudah dilihat.
Contoh: Tarif Listrik
Perusahaan listrik menerapkan tarif bertingkat:
Model matematikanya:
Angka pada baris kedua berasal dari biaya pertama. Angka pada baris ketiga berasal dari biaya sampai pertama. Dengan cara ini, biaya tidak mulai dari nol lagi setiap masuk interval baru.
Tabel biaya listrik:
| Pemakaian (kWh) | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Biaya (Rp) |
Contoh: Perjalanan Multi-Moda
Seseorang melakukan perjalanan dengan:
Fungsi jarak terhadap waktu:
Konstanta dan menjaga agar jarak total terus bertambah dari posisi terakhir, bukan kembali ke saat moda transportasi berubah.
Untuk menentukan persamaan fungsi piecewise dari grafik atau situasi:
Contoh:
Dari grafik yang menunjukkan:
Langkah penyelesaiannya bisa diringkas seperti ini:
| Interval | Informasi grafik | Persamaan |
|---|---|---|
| Melalui dengan kemiringan | ||
| Garis horizontal | ||
| Melalui dengan kemiringan |
Fungsi piecewise:
Tentukan nilai , , dan untuk fungsi:
Sebuah perusahaan taksi online menerapkan tarif:
Tarif dasar adalah untuk pertama. Km dikenai . Di atas , tarif tambahannya menjadi .
Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di :
Sketsa grafik fungsi:
Seorang pekerja dibayar dengan sistem:
pertama dibayar . Lembur mulai jam ke- dibayar .
Jika maksimal kerja , buatlah fungsi upah harian!
Menghitung nilai fungsi:
Untuk : karena , gunakan
Untuk : karena , gunakan
Untuk : karena , gunakan
Model tarif taksi:
Misalkan adalah jarak dalam km, maka:
Memeriksa kontinuitas:
Di :
Sketsa grafik :
Fungsi upah harian:
Misalkan adalah jam kerja, maka:
Buatlah model fungsi piecewise untuk total biaya!
Atau disederhanakan:
Karena , maka fungsi kontinu di .
Atau disederhanakan:
