Komposisi Fungsi

Hasil Satu Fungsi sebagai Masukan Fungsi Lain

Sebuah toko menerapkan diskon dan potongan harga tetap dalam dua urutan yang berbeda:

1. Promo A: Diskon $20\%$, lalu dipotong lagi $\text{Rp}25{.}000{,}00$.
2. Promo B: Potongan harga $\text{Rp}25{.}000{,}00$, lalu didiskon $20\%$.

Apakah kedua promo menghasilkan harga akhir yang sama? Untuk menjawab pertanyaan ini, tulis setiap operasi sebagai fungsi, lalu susun kedua fungsi sesuai urutan promo.

Definisi Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih secara berurutan sehingga menghasilkan fungsi baru.

Jika kita punya fungsi $g: A \to B$ dan fungsi $f: B \to C$, maka komposisi keduanya, yang ditulis sebagai $(f \circ g)(x)$, adalah fungsi baru yang memetakan langsung dari domain $A$ ke kodomain $C$.

Artinya, kita menerapkan fungsi $g$ terlebih dahulu, lalu hasilnya kita masukkan ke fungsi $f$.

Secara matematis, ini ditulis sebagai:

Komposisi hanya terdefinisi untuk input $x$ dalam domain $g$ yang hasilnya, $g(x)$, berada dalam domain $f$:

Perhitungan Promo

Hitung hasil akhir untuk barang seharga $\text{Rp}200{.}000{,}00$. Contoh sederhana ini mengabaikan pajak, syarat pembelian minimum, dan batas harga terendah agar hanya urutan kedua operasi yang berubah.

Misalkan $x$ adalah harga awal barang.

• Fungsi diskon $20\%$: $d(x) = x - 0{,}20x = 0{,}80x$
• Fungsi potongan $\text{Rp}25{.}000{,}00$: $p(x) = x - 25000$

Sekarang kita komposisikan kedua fungsi sesuai urutan promo:

1. Promo A (Diskon dulu, baru potong harga): Kita mencari $(p \circ d)(x)$

   $$\begin{aligned} (p \circ d)(x) &= p(d(x)) \\ &= p(0{,}80x) \\ &= 0{,}80x - 25000 \end{aligned}$$

   Untuk $x = 200000$:

   $$\begin{aligned} &(p \circ d)(200000) \\ &= 0{,}80(200000) - 25000 \\ &= 160000 - 25000 \\ &= 135000 \end{aligned}$$

   Jadi, harga akhir dengan Promo A adalah $\text{Rp}135{.}000{,}00$.

2. Promo B (Potong harga dulu, baru diskon): Kita mencari $(d \circ p)(x)$

   $$\begin{aligned}(d \circ p)(x) &= d(p(x)) \\ &= d(x - 25000) \\ &= 0{,}80(x - 25000) \\ &= 0{,}80x - 20000\end{aligned}$$

   Untuk $x = 200000$:

   $$\begin{aligned} &(d \circ p)(200000) \\ &= 0{,}80(200000) - 20000 \\ &= 160000 - 20000 \\ &= 140000 \end{aligned}$$

   Jadi, harga akhir dengan Promo B adalah $\text{Rp}140{.}000{,}00$.

Untuk barang ini, Promo A ($p \circ d$) menghasilkan harga akhir $\text{Rp}135{.}000{,}00$, sedangkan Promo B ($d \circ p$) menghasilkan $\text{Rp}140{.}000{,}00$. Perubahan urutan mengubah harga akhir, sehingga secara umum $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$.

Membandingkan Dua Urutan Komposisi

Misalkan kita punya dua fungsi:

Tentukan $(f \circ g)(x)$ dan $(g \circ f)(x)$.

Penyelesaian:

1. Mencari $(f \circ g)(x)$:

   $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 3)$$

   Gantikan $x$ dalam $f(x)$ dengan $g(x)$:

   $$\begin{aligned} f(x^2 - 3) &= 2(x^2 - 3) + 1 \\ &= 2x^2 - 6 + 1 \\ &= 2x^2 - 5 \end{aligned}$$

   Jadi, $(f \circ g)(x) = 2x^2 - 5$.

2. Mencari $(g \circ f)(x)$:

   $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1)$$

   Gantikan $x$ dalam $g(x)$ dengan $f(x)$:

   $$\begin{aligned} g(2x + 1) &= (2x + 1)^2 - 3 \\ &= (4x^2 + 4x + 1) - 3 \\ &= 4x^2 + 4x - 2 \end{aligned}$$

   Jadi, $(g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x - 2$.

Perhatikan bahwa $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$, sesuai dengan sifat tidak komutatif.

Domain Harus Mengikuti Urutan

Komposisi tidak sama dengan perkalian dua fungsi, dan domainnya tidak dapat ditentukan hanya dengan melihat rumus akhir. Misalkan

Maka

Input harus memenuhi $x\in D_g=\mathbb{R}$ dan $g(x)=x^2\in D_f=[1,\infty)$. Karena itu,

Pemeriksaan ini menjelaskan mengapa nilai di antara $-1$ dan $1$ dikeluarkan: nilai tersebut membuat bentuk di dalam akar bernilai negatif.