Sifat Fungsi Invers

Sifat Komposisi dengan Invers

Suatu fungsi dan invers saling membatalkan. Urutan komposisi menentukan himpunan tempat identitas berlaku: $f\circ f^{-1}$ menjadi fungsi identitas pada daerah hasil $f$, sedangkan $f^{-1}\circ f$ menjadi fungsi identitas pada domain $f$.

1. Komposisi $f$ dengan $f^{-1}$:

   $$(f \circ f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) = x$$

   Ini berlaku untuk semua $x$ dalam domain $f^{-1}$, yaitu daerah hasil $f$.

2. Komposisi $f^{-1}$ dengan $f$:

   $$(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x$$

   Ini berlaku untuk semua $x$ dalam domain $f$.

Contoh:

Kita tahu bahwa jika $f(x) = 2x + 3$, maka inversnya adalah $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$. Verifikasi sifat komposisi:

• $$\begin{aligned}f(f^{-1}(x)) &= f\left(\frac{x - 3}{2}\right) \\ &= 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 \\ &= (x - 3) + 3 \\ &= x\end{aligned}$$
• $$\begin{aligned}f^{-1}(f(x)) &= f^{-1}(2x + 3) \\ &= \frac{(2x + 3) - 3}{2} \\ &= \frac{2x}{2} \\ &= x\end{aligned}$$

Kedua komposisi membawa kita kembali ke nilai awal $x$.

Sifat Invers dari Invers

Jika kita mencari invers dari suatu fungsi invers, kita akan kembali ke fungsi aslinya.

Mencari invers menukar masukan dan keluaran pada setiap pasangan. Pertukaran yang dilakukan sekali lagi mengembalikan fungsi asal.

Sifat Invers dari Komposisi Fungsi

Jika kita memiliki komposisi dua fungsi invertibel dengan domain dan kodomain yang saling sesuai, invers dari komposisi tersebut adalah komposisi dari invers-inversnya, tetapi dalam urutan terbalik.

Misalkan $f$ dan $g$ adalah dua fungsi yang memiliki invers $f^{-1}$ dan $g^{-1}$. Maka invers dari komposisi $f \circ g$ adalah:

Baca komposisi dari kanan ke kiri: $f^{-1}$ diterapkan terlebih dahulu, lalu $g^{-1}$.

Jika $g$ dijalankan lebih dahulu dan $f$ dijalankan sesudahnya, proses pembatalan dimulai dari langkah terakhir. Terapkan $f^{-1}$ lebih dahulu, lalu terapkan $g^{-1}$.

Contoh:

Misalkan $f(x) = x + 1$ (inversnya $f^{-1}(x) = x - 1$) dan $g(x) = 3x$ (inversnya $g^{-1}(x) = \frac{x}{3}$).

1. Cari $(f \circ g)(x)$:

   $$\begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(3x) \\ &= 3x + 1 \end{aligned}$$

2. Cari invers dari $(f \circ g)(x)$:

   Misalkan $y = 3x + 1$. Tukar $x$ dan $y$: $x = 3y + 1$.

   Selesaikan untuk $y$: $x - 1 = 3y \implies y = \frac{x - 1}{3}$.

   Jadi, $(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{x - 1}{3}$.

3. Cari $(g^{-1} \circ f^{-1})(x)$:

   $$\begin{aligned} (g^{-1} \circ f^{-1})(x) &= g^{-1}(f^{-1}(x)) \\ &= g^{-1}(x - 1) \end{aligned}$$

   $$g^{-1}(x - 1) = \frac{x - 1}{3}$$

Karena hasil dari langkah 2 dan 3 sama, terbukti bahwa $(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$.

Hubungan Domain dan Range

Domain dari fungsi asli $f$ menjadi range dari fungsi inversnya $f^{-1}$, dan range dari fungsi asli $f$ menjadi domain dari fungsi inversnya $f^{-1}$.