Sifat Komposisi Fungsi

Urutan dan Pengelompokan dalam Komposisi Fungsi

Gunakan fungsi berikut untuk memeriksa sifat komposisi:

Domain ketiga fungsi adalah:

Sifat Tidak Komutatif

Urutan komposisi menentukan fungsi mana yang menerima output fungsi lain. Karena itu, menukar urutan fungsi biasanya menghasilkan fungsi komposisi yang berbeda.

Secara umum, $(f \circ g)(x)$ tidak sama dengan $(g \circ f)(x)$.

Contoh:

Bandingkan $(g \circ f)(x)$ dan $(f \circ g)(x)$.

1. Menghitung $(g \circ f)(x)$:

   $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1)$$

   $$\begin{aligned} g(2x+1) &= (2x+1)^2 + 4 \\ &= (4x^2 + 4x + 1) + 4 \\ &= 4x^2 + 4x + 5 \end{aligned}$$

2. Menghitung $(f \circ g)(x)$:

   $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2+4)$$

   $$\begin{aligned} f(x^2+4) &= 2(x^2+4) + 1 \\ &= (2x^2 + 8) + 1 \\ &= 2x^2 + 9 \end{aligned}$$

Kedua bentuk polinomial memiliki koefisien yang berbeda, sehingga keduanya bukan fungsi yang sama. Satu input juga memberi contoh penyangkal langsung:

Jadi, $g\circ f\neq f\circ g$ sebagai fungsi. Pasangan lain harus diperiksa dengan cara yang sama. Secara umum, komposisi tidak bersifat komutatif.

Sifat Asosiatif

Jika tiga fungsi memiliki domain dan kodomain yang sesuai, perubahan pengelompokan saja tidak mengubah hasil. Urutan fungsinya harus tetap sama, dan kedua ruas dibandingkan pada input yang membuat komposisinya terdefinisi.

Secara matematis, untuk fungsi $f$, $g$, dan $h$, berlaku:

Kita boleh membentuk $f\circ g$ lebih dahulu lalu menyusun fungsi tersebut dengan $h$, atau membentuk $g\circ h$ lebih dahulu lalu menyusun $f$ dengan fungsi tersebut. Untuk setiap input yang membuat kedua ruas terdefinisi, keduanya menerapkan $h$, kemudian $g$, lalu $f$.

Contoh:

Cek apakah $((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)$.

1. Menghitung $((f \circ g) \circ h)(x)$:

   Kita sudah tahu $(f \circ g)(x) = 2x^2 + 9$.

   $$\begin{aligned} ((f \circ g) \circ h)(x) &= (f \circ g)(h(x)) \\ &= (f \circ g)(\frac{1}{x+1}) \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &(f \circ g)(\frac{1}{x+1}) \\ &= 2\left(\frac{1}{x+1}\right)^2 + 9 \\ &= \frac{2}{(x+1)^2} + 9 \end{aligned}$$

2. Menghitung $(f \circ (g \circ h))(x)$:

   Pertama, cari $(g \circ h)(x)$:

   $$(g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(\frac{1}{x+1})$$

   $$\begin{aligned} g(\frac{1}{x+1}) &= \left(\frac{1}{x+1}\right)^2 + 4 \\ &= \frac{1}{(x+1)^2} + 4 \end{aligned}$$

   Sekarang, komposisikan $f$ dengan hasil ini:

   $$\begin{aligned} &(f \circ (g \circ h))(x) \\ &= f((g \circ h)(x)) \\ &= f\left(\frac{1}{(x+1)^2} + 4\right) \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &f\left(\frac{1}{(x+1)^2} + 4\right) \\ &= 2\left(\frac{1}{(x+1)^2} + 4\right) + 1 \\ &= \frac{2}{(x+1)^2} + 8 + 1 \\ &= \frac{2}{(x+1)^2} + 9 \end{aligned}$$

Karena kedua hasilnya sama ($\frac{2}{(x+1)^2} + 9$) untuk $x\neq-1$, sifat asosiatif berlaku pada domain bersama: $((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)$.

Sifat asosiatif ini berlaku untuk kombinasi urutan fungsi lainnya juga, seperti $((h \circ f) \circ g)(x) = (h \circ (f \circ g))(x)$ dan $((g \circ f) \circ h)(x) = (g \circ (f \circ h))(x)$.

Elemen Identitas

Fungsi identitas memetakan setiap anggota suatu himpunan ke dirinya sendiri. Untuk $f:A\to B$, misalkan $I_A$ adalah identitas pada $A$ dan $I_B$ adalah identitas pada $B$.

Komposisi dengan fungsi identitas pada himpunan yang sesuai tidak mengubah $f$:

Contoh:

Dengan $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $f(x) = 2x + 1$:

• $(f\circ I_{\mathbb{R}})(x)=f(I_{\mathbb{R}}(x))=2x+1$
• $(I_{\mathbb{R}}\circ f)(x)=I_{\mathbb{R}}(f(x))=2x+1$

Keduanya menghasilkan fungsi $f(x)$ kembali.