Garis Singgung pada Irisan Kerucut

Akar Ganda Menandai Garis Singgung pada Irisan Kerucut

Sebuah penggaris yang ditempelkan pada kurva halus dapat bertemu dengan kurva di satu titik tanpa memotongnya di sekitar titik tersebut. Garis sepanjang penggaris memodelkan garis singgung di titik itu.

Setelah persamaan garis dimasukkan ke persamaan parabola, elips, atau hiperbola, garis singgung menghasilkan akar ganda. Garis sekan menghasilkan dua akar berbeda. Pada parabola $y = x^2$ , akar ganda menunjukkan satu titik tempat garis singgung menyentuh kurva.

Untuk parabola, elips, dan hiperbola, cara menentukan persamaan garis singgung bergantung pada informasi yang tersedia.

Titik pada Kurva

Jika titik singgung sudah diketahui, diferensiasi implisit memberi gradien di titik tersebut. Gradien itu kemudian digabungkan dengan persamaan garis melalui satu titik untuk memperoleh bentuk titik secara langsung.

Bentuk Titik dari Diferensiasi Implisit

Untuk titik $T(x_1, y_1)$ pada irisan kerucut, bentuk titik yang dihasilkan mengganti setiap koordinat berpangkat dua dengan hasil kali terhadap koordinat titik singgung yang bersesuaian. Suku linear dibagi secara simetris antara titik umum dan titik singgung. Bentuk ini merangkum perhitungan turunan, tetapi tidak menggantikan pemeriksaan bahwa $T$ memang berada pada kurva.

Misalnya, untuk parabola $y^2 = 4px$ dan titik singgung $T(x_1, y_1)$ , persamaan garis singgungnya adalah:

yy_1 = 2p(x + x_1)

Gunakan parabola $y^2 = 8x$ dan titik $(2, 4)$ .

Dari parabola $y^2 = 8x$ , kita memperoleh $4p = 8$ sehingga $p = 2$ . Garis singgung di titik $(2, 4)$ adalah:

y \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot (x + 2)

Bentuk titik hanya sah setelah titik yang diberikan terbukti berada pada irisan kerucut. Bentuk ini merangkum perhitungan turunan menjadi substitusi aljabar yang dapat digunakan kembali.

Gradien yang Diketahui

Kadang titik singgung belum diketahui, tetapi kemiringan atau gradien garis singgung sudah diketahui. Dalam kasus ini, substitusikan persamaan garis bergradien $m$ ke persamaan irisan kerucut.

Tentukan garis singgung hiperbola $4x^2 - 9y^2 = 36$ yang tegak lurus terhadap garis $x + 4y + 10 = 0$ .

Pertama, tentukan gradien garis singgung. Gradien garis $x + 4y + 10 = 0$ adalah $m_g = -\frac{1}{4}$ . Karena kedua garis tegak lurus, gradien garis singgung adalah .

Garis bergradien $m$ memiliki bentuk $y = mx + c$ . Bentuk ini kita substitusikan ke persamaan hiperbola:

4x^2 - 9(4x + c)^2 = 36

Agar garis $y=4x+c$ menyinggung hiperbola, persamaan hasil substitusi harus memiliki satu akar kembar. Karena itu, diskriminannya harus nol:

\begin{aligned} D &= (-72c)^2 - 4(-140)(-9c^2-36) \\ &= 0 \end{aligned}

Jadi, kedua garis singgungnya adalah $y = 4x + 2\sqrt{35}$ dan $y = 4x - 2\sqrt{35}$ .

Garis Singgung Melalui Titik di Luar Kurva

Bergantung pada jenis irisan kerucut dan letak titiknya, suatu titik dapat dilalui nol, satu, atau dua garis singgung real. Pada contoh berikut, terdapat dua garis singgung. Konstruksi dari titik di luar lingkaran merupakan kasus khusus yang sudah dikenal.

Untuk parabola $y^2 = 8x$ , dari titik $A(2, 5)$ dapat ditarik dua garis singgung yang berbeda.

Untuk titik di luar kurva, persamaan polar menghasilkan tali busur kontak, yaitu garis yang menghubungkan kedua titik singgung. Garis ini bukan salah satu garis singgungnya. Untuk $y^2 = 8x$ dan $A(2,5)$ , persamaan polarnya adalah:

yy_1 = 4(x + x_1)

Substitusikan $x_1 = 2$ dan $y_1 = 5$ :

5y = 4(x + 2)

Selanjutnya, substitusikan ke persamaan parabola untuk mencari titik singgung:

\left(\frac{4x + 8}{5}\right)^2 = 8x

Dengan rumus kuadrat, kita memperoleh $x_1 = \frac{1}{2}$ dan $x_2 = 8$ . Titik singgungnya adalah dan . Garis dari masing-masing titik tersebut ke memberi dua garis singgung dan .

Persamaan Garis Singgung untuk Setiap Irisan Kerucut

Tabel berikut merangkum persamaan garis singgung yang ditulis dalam bentuk titik.

Irisan Kerucut	Persamaan Garis Singgung
$y^2 = 4px$	$yy_1 = 2p(x + x_1)$

Rumus-rumus ini adalah bentuk titik berbasis turunan untuk irisan kerucut baku yang umum. Pastikan dahulu bahwa titik singgung yang diberikan benar-benar berada pada irisan kerucut.

Latihan

Setiap soal memberikan irisan kerucut dan sebuah titik di atasnya, lalu meminta persamaan garis singgung di titik itu. Tulis dulu persamaan kerucutnya dalam bentuk baku sebelum memakai rumus garis singgung.

Cari persamaan garis singgung parabola $y^2 = 12x$ di titik $(3, 6)$ .
Tentukan kedua garis singgung hiperbola $4x^2 - 9y^2 = 36$ yang tegak lurus terhadap garis .

Pembahasan

Penyelesaian:

Yang diketahui: parabola $y^2 = 12x$ dengan titik singgung $(3, 6)$ .

Dari persamaan $y^2 = 12x$ , kita dapat jadi .