Garis Singgung pada Irisan Kerucut

Konsep Garis Singgung

Pernah gak kalian lihat bola basket yang pas banget menyentuh ring? Di titik sentuh itu, bola cuma menyentuh satu titik aja tanpa tembus ring. Konsep seperti ini yang kita sebut garis singgung dalam matematika!

Garis singgung pada irisan kerucut itu garis yang menyentuh kurva tepat di satu titik saja. Beda sama garis secant yang memotong kurva di dua titik, garis singgung cuma bersentuhan di satu titik dan gak memotong kurva sama sekali.

Bayangin aja kalau kalian punya parabola $y = x^2$ . Garis singgung akan menyentuh parabola di satu titik tertentu, sedangkan garis secant akan memotong parabola di dua titik yang berbeda.

Untuk irisan kerucut seperti parabola, elips, dan hiperbola, ada beberapa cara buat menentukan persamaan garis singgungnya tergantung informasi yang kita punya.

Titik pada Kurva

Kalau kita sudah tau titik singgungnya di mana, menentukan garis singgung jadi gampang banget! Konsep dasarnya pakai prinsip bagi adil yang praktis untuk irisan kerucut.

Prinsip Bagi Adil

Untuk menentukan garis singgung lewat titik $T(x_1, y_1)$ pada irisan kerucut, kita bisa pakai prinsip bagi adil. Caranya gampang, yaitu bagi setiap pangkat dua jadi pangkat satu pada titik singgung.

Misalnya, kalau kita punya parabola $y^2 = 4px$ dan titik singgung $T(x_1, y_1)$ , maka persamaan garis singgungnya jadi:

yy_1 = 2p(x + x_1)

Coba kita ambil contoh parabola $y^2 = 8x$ di titik $(2, 4)$ .

Dari parabola $y^2 = 8x$ , kita tau $4p = 8$ jadi $p = 2$ . Garis singgung di titik $(2, 4)$ adalah:

y \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot (x + 2)

Prinsip bagi adil ini bikin perhitungan jadi lebih mudah! Kita gak perlu ribet hitung turunan. Cukup "bagi" setiap pangkat dua jadi perkalian sama koordinat titik singgung!

Gradien Tertentu

Kadang kita malah gak tau titik singgungnya, tapi kita tau kemiringan atau gradien garis singgungnya. Dalam kasus seperti ini, kita substitusikan persamaan garis dengan gradien $m$ ke persamaan irisan kerucutnya.

Contohnya nih, kita mau cari garis singgung hiperbola $4x^2 - 9y^2 = 36$ yang tegak lurus sama garis $x + 4y + 10 = 0$ .

Langkah pertama, kita tentuin dulu gradien garis singgungnya. Karena garis singgung tegak lurus terhadap $x + 4y + 10 = 0$ , maka gradien garis asalnya $m_g = -\frac{1}{4}$ jadi gradien garis singgungnya $m_s = 4$ .

Persamaan garis singgung hiperbola dengan gradien $m$ itu $y = mx + c$ . Kita substitusikan ke persamaan hiperbolanya:

4x^2 - 9(4x + c)^2 = 36

Buat garis singgung, diskriminannya harus nol:

D = (-72c)^2 - 4(-140)(-9c^2) = 0

Jadi diperoleh $c = 0$ dan persamaan garis singgungnya adalah $y = 4x$ .

Titik Luar Kurva

Kalau titiknya ada di luar irisan kerucut, kita bisa punya dua garis singgung yang bisa ditarik dari titik itu ke kurva. Konsepnya mirip kayak narik garis dari titik luar lingkaran.

Contohnya, ambil parabola $y^2 = 8x$ dengan titik $A(2, 5)$ . Dari titik $A$ ini, kita bisa tarik dua garis singgung yang berbeda ke parabola.

Untuk menentukan persamaan garis singgung lewat titik luar, kita pakai persamaan kutub atau polar. Untuk parabola $y^2 = 8x$ dengan titik $A(2,5)$ , persamaan kutubnya adalah:

yy_1 = 4(x + x_1)

Substitusikan $x_1 = 2$ dan $y_1 = 5$ :

5y = 4(x + 2)

Sekarang kita substitusikan ke persamaan parabola untuk cari titik singgungnya:

\left(\frac{4x + 8}{5}\right)^2 = 8x

Pakai rumus kuadrat, kita dapet $x_1 = \frac{1}{2}$ dan $x_2 = 8$ . Jadi titik singgungnya ada di $(\frac{1}{2}, 2)$ dan $(8, 8)$ .

Ringkasan Rumus

Ini dia tabel lengkap persamaan irisan kerucut dan persamaan garis singgungnya. Simpan baik-baik ya, soalnya ini bakalan kepake terus!

Irisan Kerucut	Persamaan Garis Singgung
$y^2 = 4px$	$yy_1 = 2p(x + x_1)$
$x^2 = 4py$	$xx_1 = 2p(y + y_1)$
$(x - m)^2 = 4p(y - n)$	$(x - m)(x_1 - m) = 2p(y - n)(y_1 - n)$
$(y - m)^2 = 4p(x - n)$	$(y - m)(y_1 - m) = 2p(x - n)(x_1 - n)$
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$	$\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$	$\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$
$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$	$\frac{yy_1}{a^2} - \frac{xx_1}{b^2} = 1$
$\frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1$	$\frac{(x-m)(x_1-m)}{a^2} + \frac{(y-n)(y_1-n)}{b^2} = 1$
$\frac{(x-m)^2}{a^2} - \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1$	$\frac{(x-m)(x_1-m)}{a^2} - \frac{(y-n)(y_1-n)}{b^2} = 1$
$\frac{(y-n)^2}{a^2} - \frac{(x-m)^2}{b^2} = 1$	$\frac{(y-n)(y_1-n)}{a^2} - \frac{(x-m)(x_1-m)}{b^2} = 1$

Semua rumus ini berdasarkan prinsip bagi adil yang bikin perhitungan lebih gampang! Gak perlu ribet-ribet pake kalkulus segala.

Latihan

Cari persamaan garis singgung parabola $y^2 = 12x$ di titik $(3, 6)$ .
Ada hiperbola $4x^2 - 9y^2 = 36$ . Cari persamaan garis singgung yang tegak lurus sama garis $x + 4y + 10 = 0$ .
Cari persamaan garis singgung elips $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ yang lewat titik $A(1, 3)$ .
Ada parabola $y^2 = 8x$ . Cari persamaan garis singgung parabola ini yang lewat titik $A(2, 5)$ .

Kunci Jawaban

Jawaban:

Yang diketahui: parabola $y^2 = 12x$ dengan titik singgung $(3, 6)$ .

Dari persamaan $y^2 = 12x$ , kita dapat $4p = 12$ jadi $p = 3$ .

Pakai rumus garis singgung parabola:
$yy_1 = 2p(x + x_1)$
Jadi persamaan garis singgungnya $y = x + 3$ .
Jawaban:

Yang diketahui: hiperbola $4x^2 - 9y^2 = 36$ atau $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ .

Garis $x + 4y + 10 = 0$ punya gradien $m = -\frac{1}{4}$ .

Karena garis singgungnya tegak lurus sama garis itu, maka gradien garis singgungnya:

$m_s = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-\frac{1}{4}} = 4$

Rumus garis singgung hiperbola dengan gradien $m$ :

$y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$

Dengan $a^2 = 9$ , $b^2 = 4$ , dan $m = 4$ :
$y = 4x \pm \sqrt{9 \cdot 16 - 4}$
Jadi persamaan garis singgungnya $y = 4x + 2\sqrt{35}$ atau $y = 4x - 2\sqrt{35}$ .
Jawaban:

Yang diketahui: elips $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ dan titik $A(1, 3)$ .

Cek dulu nih, apakah titik $A(1, 3)$ ada di elipsnya:

$\frac{1^2}{9} + \frac{3^2}{4} = \frac{1}{9} + \frac{9}{4} = \frac{4 + 81}{36} = \frac{85}{36} > 1$

Karena $\frac{85}{36} > 1$ , titik $A$ ada di luar elips.

Pakai persamaan kutub elips:

$\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$

Substitusikan $x_1 = 1$ dan $y_1 = 3$ :
$\frac{x \cdot 1}{9} + \frac{y \cdot 3}{4} = 1$
Kalau mau cari titik singgungnya, substitusikan persamaan ini ke persamaan elips. Dari $4x + 27y = 36$ , kita dapat $x = \frac{36 - 27y}{4}$ .

Substitusikan ke persamaan elips dan selesaikan untuk mendapat dua titik singgung.

Jadi persamaan garis singgungnya $4x + 27y = 36$ .
Jawaban:

Yang diketahui: parabola $y^2 = 8x$ dan titik $A(2, 5)$ .

Cek dulu apakah titik $A(2, 5)$ ada di parabolanya:

$5^2 = 25 \neq 8 \cdot 2 = 16$

Titik $A$ ada di luar parabola.

Pakai persamaan kutub parabola dengan $p = 2$ :

$yy_1 = 4(x + x_1)$

Substitusikan $x_1 = 2$ dan $y_1 = 5$ :
$5y = 4(x + 2)$
Substitusikan ke persamaan parabola:
$\left(\frac{4x + 8}{5}\right)^2 = 8x$
Pakai rumus kuadrat:

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{4} = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{4} = \frac{17 \pm 15}{4}$

Jadi $x_1 = \frac{1}{2}$ dan $x_2 = 8$ .

Titik singgungnya ada di $(\frac{1}{2}, 2)$ dan $(8, 8)$ .

Persamaan garis singgung lewat $(\frac{1}{2}, 2)$ :

$y - 2 = \frac{2 - 5}{\frac{1}{2} - 2}(x - \frac{1}{2}) = \frac{-3}{-\frac{3}{2}}(x - \frac{1}{2}) = 2(x - \frac{1}{2})$

Jadi $y = 2x + 1$ .

Persamaan garis singgung lewat $(8, 8)$ :

$y - 8 = \frac{8 - 5}{8 - 2}(x - 8) = \frac{3}{6}(x - 8) = \frac{1}{2}(x - 8)$

Jadi $y = \frac{1}{2}x + 4$ .

Persamaan garis singgungnya adalah $y = 2x + 1$ dan $y = \frac{1}{2}x + 4$ .