Hiperbola

Bentuk dan Fokus Hiperbola

Siluet vertikal menara pendingin sering menyerupai hiperbola. Gelombang kejut berbentuk kerucut dari pesawat supersonik juga dapat membentuk lintasan hiperbolik saat berpotongan dengan permukaan tanah. Pada kedua model tersebut, kurva memiliki dua cabang yang menjauh dari pusat dan mendekati garis asimtotnya.

Secara geometris, hiperbola terbentuk ketika sebuah bidang memotong kedua bagian kerucut ganda. Berbeda dengan elips yang tertutup, hiperbola memiliki dua cabang terpisah yang membuka ke arah berlawanan.

Secara matematis, hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang selisih absolut jaraknya terhadap dua titik tetap selalu konstan. Kedua titik tetap ini disebut fokus hiperbola. Untuk setiap titik $P$ pada hiperbola, selisih $|PF_1 - PF_2| = 2a$ (konstan), sedangkan di elips jumlah jaraknya yang konstan: $PF_1 + PF_2 = 2a$.

Visualisasi menunjukkan kedua cabang, kedua fokus, dan satu titik $P$ pada kurva. Kedua ruas memiliki panjang $r_1=PF_1$ dan $r_2=PF_2$. Saat $P$ bergerak di salah satu cabang, kedua panjang berubah, tetapi nilai mutlak selisihnya tetap $|r_1-r_2|=2a$.

Komponen Hiperbola

Sebelum memakai rumus, kenali dahulu bagian-bagian yang menentukan bentuk dan posisi kurva.

Baca grafik melalui lima ciri berikut:

1. Pusat hiperbola adalah titik tengah antara kedua fokus, biasanya dilambangkan dengan $O$.

2. Fokus ($F_1$ dan $F_2$) adalah dua titik tetap dalam definisi hiperbola. Jika $c$ menyatakan jarak dari pusat ke salah satu fokus, jarak antara kedua fokus adalah $2c$.

3. Puncak ($A_1$ dan $A_2$) adalah titik pada setiap cabang yang paling dekat dengan pusat. Keduanya terletak pada sumbu transversal.

4. Sumbu transversal adalah ruas garis yang melalui pusat dengan kedua puncak sebagai titik ujung. Kedua fokus terletak pada garis yang memuat ruas tersebut.

5. Asimtot adalah garis-garis yang didekati oleh cabang hiperbola saat menuju tak hingga. Hiperbola tidak pernah menyentuh asimtotnya, tapi semakin jauh dari pusat, kurva semakin mendekati garis asimtot.

Perbedaan utama hiperbola dengan elips: hiperbola punya asimtot dan terdiri dari dua cabang terpisah, sedangkan elips adalah kurva tertutup tanpa asimtot.

Persamaan Hiperbola

Persamaan baku bergantung pada arah bukaan cabang dan posisi pusat. Kita akan memakai dua kasus. Suku kuadrat yang positif menentukan arahnya, sehingga suku $x^2$ yang positif membuka ke kiri dan ke kanan, sedangkan suku $y^2$ yang positif membuka ke atas dan ke bawah.

Pusat di Titik Asal

Kalau pusat hiperbola ada di $O(0,0)$, ada dua kemungkinan orientasi:

Ketika sumbu transversal sejajar dengan sumbu $x$, persamaan hiperbola adalah:

Grafik vertikal yang sesuai tampak seperti berikut:

Ketika sumbu transversal sejajar dengan sumbu $y$, persamaan hiperbola adalah:

Pusat Berpindah

Kalau pusat hiperbola berpindah ke titik $(h, k)$, persamaannya menjadi:

Untuk sumbu transversal horizontal:

Untuk sumbu transversal vertikal:

Sifat Hiperbola

Ketiga parameter pada setiap hiperbola memenuhi hubungan:

Pada notasi ini:

• $a$ adalah jarak dari pusat ke puncak (setengah sumbu transversal)
• $b$ adalah setengah sumbu konjugat yang menentukan kemiringan asimtot
• $c$ adalah jarak dari pusat ke fokus

Hubungan ini berbeda dengan elips yang menggunakan $c^2 = a^2 - b^2$.

Eksentrisitas hiperbola didefinisikan sebagai:

Eksentrisitas hiperbola selalu $e > 1$ karena $c^2 = a^2 + b^2$ mengakibatkan $c > a$. Secara lebih tepat, $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$, sehingga kenaikan $e$ menaikkan rasio $b/a$ yang juga menentukan gradien asimtot. Sebagai perbandingan, lingkaran memiliki $e = 0$, elips memiliki $0 < e < 1$, parabola memiliki $e = 1$, dan hiperbola memiliki $e > 1$.

Persamaan asimtot untuk hiperbola dengan pusat di $(0,0)$:

Untuk sumbu transversal horizontal:

Untuk sumbu transversal vertikal:

Asimtot menunjukkan arah batas kedua cabang. Semakin jauh dari pusat, setiap cabang semakin mendekati salah satu asimtot tanpa memotongnya.

Latihan

Setiap soal memberikan persamaan hiperbola dan meminta pusat, puncak, asimtot, atau fokusnya, jadi ubah dulu persamaannya ke bentuk baku.

1. Tentukan persamaan hiperbola dengan pusat di $(0,0)$, puncak di $(\pm 2, 0)$, dan fokus di $(\pm 3, 0)$.

2. Diketahui hiperbola $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$. Tentukan koordinat fokus, eksentrisitas, dan persamaan asimtot.

3. Sebuah hiperbola memiliki pusat di $(1, -2)$, sumbu transversal horizontal, $a = 3$, dan $b = 4$. Tentukan persamaan hiperbola tersebut.

4. Tentukan persamaan asimtot dari hiperbola $\frac{(y+1)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1$.

Pembahasan

1. Penyelesaian:

   Diketahui:

   • Pusat di $(0,0)$
   • Puncak di $(\pm 2, 0)$, jadi $a = 2$
   • Fokus di $(\pm 3, 0)$, jadi $c = 3$
   • Sumbu transversal horizontal (karena puncak dan fokus berada pada sumbu $x$)

   Gunakan hubungan $c^2 = a^2 + b^2$:

   $$3^2 = 2^2 + b^2$$

   $$9 = 4 + b^2$$

   $$b^2 = 5$$

   Persamaan hiperbola dengan sumbu transversal horizontal:

   $$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$$

2. Penyelesaian:

   Dari persamaan $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$:

   • $a^2 = 25$, jadi $a = 5$
   • $b^2 = 9$, jadi $b = 3$

   Karena bentuknya $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, sumbu transversalnya horizontal.

   Hitung $c$:

   $$c^2 = a^2 + b^2 = 25 + 9 = 34$$

   $$c = \sqrt{34} \approx 5{,}831$$

   Koordinat fokus: $(\pm \sqrt{34}, 0)$

   Eksentrisitas:

   $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{34}}{5} \approx \frac{5{,}831}{5} \approx 1{,}166$$

   Persamaan asimtot (sumbu transversal horizontal):

   $$y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{3}{5}x$$

3. Penyelesaian:

   Diketahui:

   • Pusat: $(h,k) = (1, -2)$
   • Sumbu transversal horizontal
   • $a = 3$, jadi $a^2 = 9$
   • $b = 4$, jadi $b^2 = 16$

   Persamaan hiperbola dengan pusat $(h,k)$ dan sumbu transversal horizontal:

   $$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

   Substitusi nilai:

   $$\frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y+2)^2}{16} = 1$$

4. Penyelesaian:

   Dari persamaan $\frac{(y+1)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1$:

   • Pusat: $(h,k) = (2, -1)$
   • $a^2 = 4$, jadi $a = 2$
   • $b^2 = 9$, jadi $b = 3$
   • Sumbu transversal vertikal (karena bentuknya $\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$)

   Untuk hiperbola dengan pusat $(h,k)$ dan sumbu transversal vertikal, persamaan asimtotnya:

   $$y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)$$

   Substitusi nilai:

   $$y - (-1) = \pm \frac{2}{3}(x - 2)$$

   $$y + 1 = \pm \frac{2}{3}(x - 2)$$

   $$y = -1 \pm \frac{2}{3}(x - 2)$$

   Jadi persamaan asimtotnya:

   $$y = -1 + \frac{2}{3}(x - 2)$$

   $$y = -1 - \frac{2}{3}(x - 2)$$