Kamu pernah lihat bentuk menara pendingin di pembangkit listrik? Atau mungkin pernah memperhatikan bayangan cahaya senter di dinding yang membentuk kurva terbuka? Nah, bentuk-bentuk seperti itu adalah contoh hiperbola dalam kehidupan nyata!
Hiperbola adalah kurva yang terbentuk ketika sebuah bidang memotong kerucut ganda dengan sudut tertentu. Berbeda dengan elips yang membentuk kurva tertutup, hiperbola justru terbentuk dari dua kurva terpisah yang saling berhadapan.
Secara matematis, hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang selisih absolut jaraknya terhadap dua titik tetap selalu konstan. Kedua titik tetap ini disebut fokus hiperbola. Untuk setiap titik P pada hiperbola, selisih ∣PF1−PF2∣=2a (konstan), sedangkan di jumlah jaraknya yang konstan: .
Hiperbola dengan dua fokus menunjukkan selisih jarak yang konstan
Lihat visualisasi di atas! Hiperbola punya dua cabang yang terpisah. Untuk setiap titik P yang ada di hiperbola, selisih jarak dari P ke kedua fokus F1 dan F2 selalu konstan.
Sebelum masuk ke rumus-rumus, yuk kenalan dulu sama bagian-bagian penting dari hiperbola. Setiap komponen ini punya peran tersendiri dalam menentukan bentuk dan sifat hiperbola.
Bagian-bagian Hiperbola
Komponen penting hiperbola dengan sumbu utama horizontal.
Komponen-komponen hiperbola yang perlu kamu ketahui:
Pusat hiperbola adalah titik tengah antara kedua fokus, biasanya dilambangkan dengan O.
Fokus (F1 dan F2) adalah dua titik tetap yang menjadi acuan definisi hiperbola. Jarak antara kedua fokus disebut jarak fokal.
Puncak (A1 dan A2) adalah titik-titik terdekat antara kedua cabang hiperbola. Garis yang menghubungkan kedua puncak disebut sumbu utama.
Sumbu utama adalah garis yang melewati pusat dan kedua fokus hiperbola.
Asimtot adalah garis-garis yang didekati oleh cabang hiperbola saat menuju tak hingga. Hiperbola tidak pernah menyentuh asimtotnya, tapi semakin jauh dari pusat, kurva semakin mendekati garis asimtot.
Perbedaan utama hiperbola dengan elips: hiperbola punya asimtot dan terdiri dari dua cabang terpisah, sedangkan elips adalah kurva tertutup tanpa asimtot.
Ada beberapa hubungan matematika yang selalu berlaku untuk setiap hiperbola:
c2=a2+b2
di mana:
a adalah jarak dari pusat ke puncak (semi-sumbu utama)
b adalah konstanta yang menentukan bentuk hiperbola (semi-sumbu konjugat)
c adalah jarak dari pusat ke fokus
Hubungan ini berbeda dengan elips yang menggunakan c2=a2−b2.
Eksentrisitas hiperbola didefinisikan sebagai:
e=ac
Nilai eksentrisitas hiperbola selalu e>1. Ini karena c>a (dari hubungan c2=a2+b2, maka c=a2+b2>a). Semakin besar nilai e, hiperbola semakin "terbuka" atau lebar. Sebagai perbandingan: lingkaran memiliki e=0, elips memiliki 0<e<1, parabola memiliki e=1, dan hiperbola memiliki e>1.
Persamaan asimtot untuk hiperbola dengan pusat di (0,0):
y=±abx(sumbu utama horizontal)
y=±bax(sumbu utama vertikal)
Asimtot adalah "panduan" bagi cabang hiperbola. Semakin jauh dari pusat, kurva hiperbola semakin mendekati garis asimtot, tapi tidak pernah menyentuhnya.
