Kedudukan Dua Lingkaran

Membandingkan Jarak Antarpusat dengan Jari-jari

Keliling dua lingkaran dapat berpotongan di dua titik, bersentuhan di satu titik, atau tetap terpisah. Daerah di dalamnya dapat saling bertumpang tindih, bertemu pada satu titik batas, atau menyisakan jarak.

Dalam geometri analitik, pusat dan jari-jari kedua lingkaran sudah cukup untuk menentukan kedudukannya secara tepat. Besaran penentunya adalah jarak antara kedua pusat.

Perbandingan yang sama digunakan untuk memeriksa apakah dua daerah berbentuk lingkaran saling tumpang tindih, bersentuhan, atau memiliki celah, misalnya pada peta jangkauan atau rancangan geometri.

Lingkaran Berpotongan

Dua lingkaran berpotongan jika memiliki tepat dua titik persekutuan. Daerah lingkarannya bertumpang tindih, sedangkan kelilingnya berpotongan di kedua titik tersebut.

Dua Lingkaran Berpotongan

Kedua lingkaran bertemu di dua titik yang berbeda.

Untuk dua lingkaran dengan jari-jari $r_1$ dan $r_2$ serta jarak antar pusat $d$ , kondisi berpotongan terjadi ketika:

|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2

Kedua batas ketat pada pertidaksamaan menjelaskan syarat tersebut:

Batas atas: Saat jarak pusat sama dengan $r_1 + r_2$ , kedua lingkaran bersinggungan luar
Batas bawah: Saat jarak pusat sama dengan $|r_1 - r_2|$ , lingkaran kecil bersinggungan dalam dengan lingkaran besar
Di antara kedua batas: Kedua keliling berpotongan di dua titik

Lingkaran Bersinggungan

Dua lingkaran bersinggungan jika memiliki tepat satu titik persekutuan. Persinggungan dapat terjadi di luar kedua lingkaran atau di dalam lingkaran yang lebih besar.

Lingkaran Bersinggungan Luar

Kedua lingkaran bersentuhan di luar, bertemu di satu titik.

Untuk dua lingkaran yang tidak berhimpit, ada dua kasus persinggungan:

Bersinggungan luar terjadi ketika $d = r_1 + r_2$ . Kedua lingkaran berada terpisah dan bersentuhan di satu titik.
Bersinggungan dalam terjadi ketika $d = |r_1 - r_2| > 0$ . Lingkaran yang lebih kecil berada di dalam lingkaran yang lebih besar dan keduanya bersentuhan di satu titik.

Diagram berikut menunjukkan persinggungan dalam:

Lingkaran Bersinggungan Dalam

Lingkaran kecil berada di dalam lingkaran besar dan bersinggungan.

Lingkaran Terpisah

Dua lingkaran saling lepas di bagian luar jika keliling maupun daerahnya tidak bertemu.

Dua Lingkaran Terpisah

Kedua lingkaran terpisah jauh dan tidak saling bersentuhan.

Kondisi terpisah terjadi ketika jarak antar pusat lebih besar dari jumlah kedua jari-jari:

d > r_1 + r_2

Dalam keadaan ini, tidak ada titik yang menjadi anggota kedua daerah lingkaran sekaligus.

Lingkaran Konsentris dan Berhimpit

Lingkaran konsentris memiliki pusat yang sama tetapi jari-jari berbeda, seperti lingkaran-lingkaran pada papan sasaran panahan.

Lingkaran Konsentris

Dua lingkaran dengan pusat sama tetapi jari-jari berbeda.

Untuk lingkaran konsentris, jarak antar pusat adalah nol ( $d = 0$ ) tapi jari-jari berbeda ( $r_1 \ne r_2$ ).

Lingkaran berhimpit memiliki pusat dan jari-jari yang sama. Kedua keliling tepat saling menutupi sehingga tampak sebagai satu lingkaran.

Kondisi berhimpit terjadi ketika:

d = 0

Cara Menentukan Kedudukan

Untuk mengelompokkan kedudukan dua lingkaran, hitung jarak antarpusat lalu bandingkan dengan jumlah dan selisih mutlak kedua jari-jari.

Misalkan lingkaran pertama berpusat di $(x_1, y_1)$ dengan jari-jari $r_1$ , dan lingkaran kedua berpusat di $(x_2, y_2)$ dengan jari-jari $r_2$ .

Jarak antar pusat dihitung dengan rumus:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Dengan asumsi kedua jari-jari positif, kondisi berikut mencakup semua kemungkinan dan tidak saling tumpang tindih:

Berhimpit: $d = 0$ dan $r_1 = r_2$ (kelilingnya sama)
Konsentris tetapi berbeda: $d = 0$ dan $r_1 \ne r_2$ (pusat sama, jari-jari berbeda)
Berada di dalam tanpa bersinggungan dan tidak konsentris: $0 < d < |r_1-r_2|$ (satu lingkaran sepenuhnya berada di dalam yang lain)
Bersinggungan dalam: $d = |r_1-r_2| > 0$ (satu titik singgung di bagian dalam)
Berpotongan: $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ (dua titik persekutuan)
Bersinggungan luar: $d = r_1+r_2$ (satu titik singgung di bagian luar)
Saling lepas di luar: $d > r_1+r_2$ (kedua daerah lingkaran tidak bertemu)

Menentukan Kedudukan Dua Lingkaran dari Persamaannya

Kelompokkan kedudukan lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 = 9$ dan $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$ .

Langkah 1: Identifikasi pusat dan jari-jari masing-masing lingkaran.

Lingkaran pertama: pusat $(0, 0)$ , jari-jari $r_1 = 3$

Untuk lingkaran kedua, kita lengkapkan kuadrat:

x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0

Lingkaran kedua: pusat $(3, 4)$ , jari-jari $r_2 = 5$

Langkah 2: Hitung jarak antar pusat.

\begin{aligned} d &= \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{aligned}

Langkah 3: Bandingkan dengan kondisi kedudukan.

r_1 + r_2 = 3 + 5 = 8

Karena $2 < 5 < 8$ , maka kedua lingkaran saling berpotongan.

Sebagai pemeriksaan, substitusikan ketiga nilai ke syarat $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ :

$|3 - 5| = 2$
$3 + 5 = 8$
$2 < 5 < 8$ $\checkmark$ (kondisi berpotongan terpenuhi)