Kedudukan dan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Garis Singgung Tegak Lurus dengan Jari-jari di Titik Singgung

Bayangkan kamu mengendarai sepeda mengitari trek berbentuk lingkaran. Jika kamu keluar dari trek tanpa membelokkan setang, arah gerakmu pada saat itu mengikuti garis singgung trek. Garis singgung adalah satu-satunya garis yang melalui titik tersebut.

Secara matematis, garis singgung bertemu lingkaran tepat di satu titik yang disebut titik singgung. Garis tersebut selalu tegak lurus terhadap jari-jari yang menuju titik singgung.

Hubungan tegak lurus tersebut digunakan untuk menyusun garis singgung di titik yang diketahui, mencari garis singgung dengan gradien tertentu, dan menarik kedua garis singgung melalui titik di luar lingkaran.

Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran

Mulailah dengan memastikan bahwa titik singgung yang diberikan benar-benar berada pada lingkaran. Vektor jari-jarinya kemudian menjadi vektor normal garis singgung.

Untuk lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ dan titik singgung $T(x_1,y_1)$, ikuti langkah berikut.

Langkah 1: Pastikan $T$ berada pada lingkaran.

Langkah 2: Vektor jari-jari menjadi vektor normal garis singgung.

Langkah 3: Gunakan vektor normal tersebut pada persamaan garis yang melalui $T$.

Dengan memakai syarat titik pada lingkaran dari Langkah 1, kita memperoleh bentuk titik-singgung:

Penurunan ini memakai vektor normal, sehingga langkah yang sama berlaku untuk garis singgung vertikal maupun horizontal.

Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

Jika titik singgung belum diketahui tetapi gradien diberikan, titik potong sumbu harus menempatkan garis tepat sejauh satu jari-jari dari pusat. Kasus ini sering muncul ketika garis singgung harus sejajar dengan garis lain.

Untuk lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ dan gradien $m$ yang diketahui, kita substitusikan persamaan garis $y = mx + c$ ke persamaan lingkaran:

Karena garis menyinggung lingkaran, diskriminan persamaan kuadrat ini harus nol:

Penyelesaian untuk titik potong sumbu memberi:

Jadi, untuk setiap gradien berhingga $m$, lingkaran berpusat di titik asal memiliki dua garis singgung sejajar:

Garis Singgung melalui Titik di Luar Lingkaran

Sebuah titik di luar lingkaran menentukan tepat dua garis singgung. Kedua titik singgungnya berada pada satu garis bantu, yaitu garis kutub titik luar tersebut.

Misalkan $P(x_0,y_0)$ berada di luar lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Garis kutubnya adalah:

Untuk titik luar, garis kutub merupakan tali busur singgung, yaitu garis yang melalui kedua titik singgung. Langkahnya:

1. Tuliskan persamaan garis kutub.
2. Cari kedua perpotongannya dengan lingkaran.
3. Gunakan setiap titik singgung untuk menyusun satu garis singgung melalui $P$.

Garis kutub bukan salah satu dari dua garis singgung. Garis ini menghubungkan kedua titik singgungnya.

Menentukan Dua Garis Singgung dengan Garis Polar

Tentukan kedua garis singgung dari $B(2,6)$ ke lingkaran $L \equiv (x+1)^2+(y-2)^2=9$.

Langkah 1: Tentukan garis kutub $B(2,6)$ terhadap lingkaran.

Langkah 2: Cari titik potong garis kutub $3x + 4y = 14$ dengan lingkaran. Dari persamaan garis, kita dapat $x = \frac{14-4y}{3}$. Substitusi ke persamaan lingkaran:

Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat untuk memperoleh dua koordinat $y$ yang mungkin.

Langkah 4: Substitusikan setiap nilai ke garis kutub untuk mendapatkan titik singgung.

Langkah 5: Gunakan setiap titik pada bentuk titik-singgung lingkaran.

Kedua garis melalui $B(2,6)$ dan menyentuh lingkaran tepat sekali. Jadi, keduanya adalah garis singgung yang dicari.

Latihan

Setiap soal menanyakan apakah garis yang diberikan menyinggung lingkaran dan, jika iya, di titik mana. Pakai syarat singgung untuk memeriksa garisnya sebelum menentukan titik singgungnya.

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ di titik $(3, 4)$.

2. Carilah persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ yang sejajar dengan garis $y = 2x + 5$.

3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 8$ yang melalui titik $(4, 2)$.

4. Sebuah lingkaran memiliki persamaan $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis $x + 2y = 7$.

Pembahasan Lengkap

1. Penyelesaian:

   Untuk lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ dengan pusat $O(0,0)$ dan jari-jari $r = 5$, serta titik singgung $T(3,4)$.

   Menggunakan rumus garis singgung: $(x-a)(x_1-a) + (y-b)(y_1-b) = r^2$

   $$\begin{aligned} &(x-0)(3-0) + (y-0)(4-0) \\ &= 25 \end{aligned}$$

   $$3x + 4y = 25$$

   Jadi persamaan garis singgungnya adalah $3x + 4y = 25$.

2. Penyelesaian:

   Garis yang sejajar dengan $y = 2x + 5$ memiliki gradien $m = 2$.

   Untuk lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ dengan $r = 4$, menggunakan rumus:

   $$y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$$
   $$y = 2x \pm 4\sqrt{1 + 4}$$

   $$y = 2x \pm 4\sqrt{5}$$

   Jadi ada dua garis singgung: $y = 2x + 4\sqrt{5}$ dan $y = 2x - 4\sqrt{5}$.

3. Penyelesaian:

   Lingkaran $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 8$ memiliki pusat $(1,-2)$ dan $r^2 = 8$.

   Persamaan garis kutub titik $(4,2)$:

   $$\begin{aligned} &(x-1)(4-1) \\ &\quad{}+ (y-(-2))(2-(-2)) = 8 \end{aligned}$$

   $$3(x-1) + 4(y+2) = 8$$

   $$3x - 3 + 4y + 8 = 8$$

   $$3x + 4y = 3$$

   Geser pusat ke titik asal dengan $u=x-1$ dan $v=y+2$. Persamaan lingkaran dan garis kutub berubah menjadi:

   $$u^2+v^2=8,\qquad 3u+4v=8$$

   $$u=\frac{8-4v}{3}$$

   $$25v^2-64v-8=0$$

   $$v=\frac{32\pm6\sqrt{34}}{25}$$

   Substitusi balik menghasilkan dua titik singgung:

   $$T_1\left(\frac{49-8\sqrt{34}}{25},\frac{-18+6\sqrt{34}}{25}\right)$$

   $$T_2\left(\frac{49+8\sqrt{34}}{25},\frac{-18-6\sqrt{34}}{25}\right)$$

   Gradien dari $(4,2)$ menuju kedua titik tersebut adalah $12-2\sqrt{34}$ dan $12+2\sqrt{34}$. Jadi, persamaan garis singgungnya:

   $$y-2=(12-2\sqrt{34})(x-4)$$

   $$y-2=(12+2\sqrt{34})(x-4)$$

4. Penyelesaian:

   Ubah persamaan lingkaran ke bentuk standar dengan melengkapkan kuadrat:

   $$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$$

   $$\begin{aligned} &(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) \\ &= 3 + 4 + 9 \end{aligned}$$

   $$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16$$

   Pusat $(2,-3)$, jari-jari $r = 4$.

   Garis $x + 2y = 7$ dapat ditulis $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$, sehingga gradiennya $m_1 = -\frac{1}{2}$.

   Garis yang tegak lurus memiliki gradien $m = 2$.

   Untuk lingkaran dengan pusat $(2,-3)$, persamaan garis singgung dengan gradien $2$:

   $$y - (-3) = 2(x - 2) \pm 4\sqrt{1 + 4}$$

   $$y + 3 = 2x - 4 \pm 4\sqrt{5}$$

   $$y = 2x - 7 \pm 4\sqrt{5}$$

   Jadi dua garis singgung: $y = 2x - 7 + 4\sqrt{5}$ dan $y = 2x - 7 - 4\sqrt{5}$.