Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Hubungan Garis Singgung dengan Jari-jari

Bayangkan roda sepeda yang diam di atas jalan datar. Pada saat itu, jalan menyentuh lingkaran roda tepat di satu titik. Garis jalan itulah model garis singgung, sedangkan jari-jari menuju titik sentuh tegak lurus terhadapnya.

Kita akan menyusun persamaan garis tersebut dalam tiga keadaan: titik sentuh diketahui, gradien diketahui, atau garis harus melalui sebuah titik di luar lingkaran.

Gagasan geometrinya tetap sama pada ketiga keadaan. Garis singgung berpotongan dengan lingkaran di satu titik, sedangkan jari-jari menuju titik itu memberi arah tegak lurus atau jarak yang dibutuhkan.

Garis Singgung di Titik yang Diketahui

Jika titik sentuh diketahui, pastikan dahulu bahwa titik itu memang terletak pada lingkaran. Setelah itu, jari-jari menuju titik tersebut menjadi vektor normal garis singgung.

Garis Singgung di Titik yang Diketahui

Mengkonstruksi persamaan garis singgung ketika titik sentuhnya sudah diketahui.

Untuk lingkaran $x^2+y^2=r^2$ dan titik singgung $M(p,q)$ yang berada pada lingkaran, bentuk titik-singgung adalah:

px + qy = r^2

Mengapa rumus ini bekerja? Jari-jari $OM$ memiliki vektor arah $(p,q)$ . Karena garis singgung tegak lurus terhadap $OM$ , vektor tersebut menjadi vektor normal garis singgung. Ketika $M$ disubstitusikan, diperoleh $p^2+q^2=r^2$ , sehingga garis itu benar-benar melalui titik sentuh.

Untuk lingkaran $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ dengan titik singgung $M(p,q)$ , terapkan gagasan yang sama terhadap pusat $(h,k)$ :

\begin{aligned} &(p-h)(x-h) + (q-k)(y-k) \\ &= r^2 \end{aligned}

Bentuk ini langsung memakai jari-jari sebagai vektor normal. Rumus tersebut juga berlaku untuk garis singgung vertikal yang tidak memiliki gradien berhingga.

Metode Jarak untuk Gradien yang Diketahui

Jika gradien diketahui tetapi titik potong sumbu belum diketahui, gunakan syarat jarak: jarak tegak lurus dari pusat ke garis singgung sama dengan jari-jari.

Garis Singgung dengan Gradien yang Diketahui

Jarak pusat ke garis menentukan dua titik potong sumbu yang mungkin.

Misalkan lingkarannya $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ dan garis singgung memiliki gradien $m$ . Tuliskan garis sebagai $y=mx+c$ .

Rumus jarak titik ke garis memberi jarak dari pusat $(h,k)$ ke garis $mx-y+c=0$ :

d = \frac{|mh - k + c|}{\sqrt{m^2 + 1}}

Karena garis menyinggung lingkaran, jarak ini harus sama dengan jari-jari:

\frac{|mh - k + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = r

Penyelesaian persamaan nilai mutlak menghasilkan dua titik potong sumbu:

c = k - mh \pm r\sqrt{m^2 + 1}

Jadi, dua garis singgung yang sejajar adalah:

y = mx + k - mh \pm r\sqrt{m^2 + 1}

Garis Singgung melalui Titik di Luar Lingkaran

Dari sebuah titik di luar lingkaran dapat ditarik tepat dua garis singgung. Jika keduanya memiliki gradien berhingga, gradien tersebut dapat dicari melalui satu persamaan kuadrat.

Garis Singgung melalui Titik di Luar Lingkaran

Syarat perpotongan kembar menentukan dua gradien yang mungkin.

Misalkan titik luarnya $P(x_0,y_0)$ dan lingkarannya $x^2+y^2=r^2$ . Garis tak vertikal yang melalui $P$ memiliki gradien $m$ .

Persamaannya ialah $y-y_0=m(x-x_0)$ , atau $y=mx-mx_0+y_0$ .

Substitusikan bentuk tersebut ke persamaan lingkaran. Garis singgung bertemu lingkaran pada satu titik kembar, sehingga persamaan kuadrat dalam $x$ harus memiliki diskriminan nol:

x^2 + (mx - mx_0 + y_0)^2 = r^2

Setelah disederhanakan, syarat diskriminan menjadi:

\begin{aligned} &(x_0^2 - r^2)m^2 - 2x_0y_0m + (y_0^2 - r^2) \\ &= 0 \end{aligned}

Akar-akarnya adalah gradien kedua garis singgung tak vertikal. Jika mungkin ada garis singgung vertikal, periksa $x=x_0$ secara terpisah karena garis itu tidak dapat ditulis sebagai $y=mx+c$ .

Menentukan Dua Garis Singgung dari Titik di Luar Lingkaran

Tentukan kedua garis singgung lingkaran $x^2+y^2=25$ yang melalui titik $A(7,1)$ .

Langkah 1: Pastikan $A$ berada di luar lingkaran.

7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50 > 25 \quad \checkmark

Langkah 2: Substitusikan $x_0=7$ , $y_0=1$ , dan $r^2=25$ ke persamaan kuadrat untuk $m$ :

\begin{aligned} &(49 - 25)m^2 - 2(7)(1)m + (1 - 25) \\ &= 0 \end{aligned}

Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadratnya.

\begin{aligned} m &= \frac{7 \pm \sqrt{49 + 576}}{24} \\ &= \frac{7 \pm \sqrt{625}}{24} \\ &= \frac{7 \pm 25}{24} \end{aligned}

Jadi $m_1 = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$ dan $m_2 = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$ .

Langkah 4: Gunakan setiap gradien pada persamaan titik-gradien yang melalui $A$ .

y - 1 = \frac{4}{3}(x - 7) \Rightarrow 4x - 3y = 25

Latihan

Setiap soal meminta persamaan garis yang menyinggung lingkaran, jadi mulailah dari syarat singgung lalu gunakan titik atau gradien yang diketahui. Soal pertama memberi titik singgung, sedangkan soal kedua memberi gradien, sehingga bentuk persamaan yang kamu pilih berbeda untuk keduanya.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ di titik $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ .
Carilah kedua persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 9$ yang bergradien $-\frac{1}{2}$ .
Tentukan kedua persamaan garis singgung lingkaran $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ yang melalui titik $(11, 10)$ .
Sebuah lingkaran memiliki persamaan $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$ . Tentukan kedua persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis $3x + 4y = 7$ .

Pembahasan Lengkap

Penyelesaian:

Untuk lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ di titik $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ , gunakan rumus:

$x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2$

Langkah 1: Substitusi koordinat titik singgung
$x \cdot 2\sqrt{2} + y \cdot 2\sqrt{2} = 16$
Langkah 2: Sederhanakan dengan membagi kedua ruas dengan $2\sqrt{2}$

$\begin{aligned} x + y &= \frac{16}{2\sqrt{2}} \\ &= \frac{8}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{8\sqrt{2}}{2} \\ &= 4\sqrt{2} \end{aligned}$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $x + y = 4\sqrt{2}$ .
Penyelesaian:

Untuk gradien $m = -\frac{1}{2}$ dan $r = 3$ , gunakan rumus:

$y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$

Langkah 1: Hitung nilai $\sqrt{1 + m^2}$

$\begin{aligned} \sqrt{1 + m^2} &= \sqrt{1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{1 + \frac{1}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{5}{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5}}{2} \end{aligned}$

Langkah 2: Substitusi ke rumus

$y = -\frac{1}{2}x \pm 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{2}x \pm \frac{3\sqrt{5}}{2}$

Jadi dua persamaan garis singgung: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{5}}{2}$ dan $y = -\frac{1}{2}x - \frac{3\sqrt{5}}{2}$ .
Penyelesaian:

Lingkaran $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ memiliki pusat $(3,4)$ dan jari-jari $r = 5$ .

Langkah 1: Cek posisi titik $(11,10)$

$\begin{aligned} &(11-3)^2 + (10-4)^2 \\ &= 8^2 + 6^2 \\ &= 64 + 36 \\ &= 100 > 25 \end{aligned}$

Titik di luar lingkaran.

Langkah 2: Geser pusat ke titik asal. Relatif terhadap pusat, titik $(11,10)$ memiliki koordinat $(8,6)$ .

Langkah 3: Susun persamaan kuadrat untuk gradien dari $(8,6)$ ke lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ .
$\begin{aligned} &(8^2 - 25)m^2 - 2(8)(6)m \\ &\quad{}+ (6^2 - 25) = 0 \end{aligned}$
Langkah 4: Selesaikan dengan rumus kuadrat.
$\begin{aligned} m &= \frac{96 \pm \sqrt{96^2 - 4(39)(11)}}{2(39)} \\ &= \frac{96 \pm \sqrt{9216 - 1716}}{78} \end{aligned}$
Langkah 5: Sederhanakan gradien dan gunakan bentuk titik-gradien melalui $(11,10)$ .
$\begin{aligned} &m_1 = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} \\ &\text{dan} \\ &m_2 = \frac{48 - 25\sqrt{3}}{39} \end{aligned}$
Inilah dua garis singgung yang melalui $(11,10)$ .
Penyelesaian:

Langkah 1: Lengkapi kuadrat agar persamaan lingkaran berbentuk standar.
$x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$
Pusat $(3,4)$ , jari-jari $r = 5$ .

Langkah 2: Baca gradien garis yang diberikan. Karena $3x + 4y = 7$ dapat ditulis sebagai $y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$ , setiap garis sejajar memiliki gradien $m = -\frac{3}{4}$ .

Langkah 3: Substitusikan pusat $(3,4)$ , jari-jari, dan gradien ke rumus garis singgung.
$y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \pm 5\sqrt{1 + \frac{9}{16}}$
Langkah 4: Sederhanakan kedua persamaan.
$y = -\frac{3}{4}x + \frac{50}{4} = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{2}$
Jadi dua persamaan garis singgung: $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{2}$ dan $y = -\frac{3}{4}x$ .

Hubungan Garis Singgung dengan Jari-jari

Kita akan menyusun persamaan garis tersebut dalam tiga keadaan: titik sentuh diketahui, gradien diketahui, atau garis harus melalui sebuah titik di luar lingkaran.

Garis Singgung di Titik yang Diketahui

Jika titik sentuh diketahui, pastikan dahulu bahwa titik itu memang terletak pada lingkaran. Setelah itu, jari-jari menuju titik tersebut menjadi vektor normal garis singgung.

Garis Singgung di Titik yang Diketahui

Mengkonstruksi persamaan garis singgung ketika titik sentuhnya sudah diketahui.

Untuk lingkaran $x^2+y^2=r^2$ dan titik singgung $M(p,q)$ yang berada pada lingkaran, bentuk titik-singgung adalah:

px + qy = r^2

Untuk lingkaran $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ dengan titik singgung $M(p,q)$ , terapkan gagasan yang sama terhadap pusat $(h,k)$ :

\begin{aligned} &(p-h)(x-h) + (q-k)(y-k) \\ &= r^2 \end{aligned}

Bentuk ini langsung memakai jari-jari sebagai vektor normal. Rumus tersebut juga berlaku untuk garis singgung vertikal yang tidak memiliki gradien berhingga.

Metode Jarak untuk Gradien yang Diketahui

Jika gradien diketahui tetapi titik potong sumbu belum diketahui, gunakan syarat jarak: jarak tegak lurus dari pusat ke garis singgung sama dengan jari-jari.

Garis Singgung dengan Gradien yang Diketahui

Jarak pusat ke garis menentukan dua titik potong sumbu yang mungkin.

Misalkan lingkarannya $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ dan garis singgung memiliki gradien $m$ . Tuliskan garis sebagai $y=mx+c$ .

Rumus jarak titik ke garis memberi jarak dari pusat $(h,k)$ ke garis $mx-y+c=0$ :

d = \frac{|mh - k + c|}{\sqrt{m^2 + 1}}

Karena garis menyinggung lingkaran, jarak ini harus sama dengan jari-jari:

\frac{|mh - k + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = r

Penyelesaian persamaan nilai mutlak menghasilkan dua titik potong sumbu:

c = k - mh \pm r\sqrt{m^2 + 1}

Jadi, dua garis singgung yang sejajar adalah:

y = mx + k - mh \pm r\sqrt{m^2 + 1}

Garis Singgung melalui Titik di Luar Lingkaran

Dari sebuah titik di luar lingkaran dapat ditarik tepat dua garis singgung. Jika keduanya memiliki gradien berhingga, gradien tersebut dapat dicari melalui satu persamaan kuadrat.

Garis Singgung melalui Titik di Luar Lingkaran

Syarat perpotongan kembar menentukan dua gradien yang mungkin.

Misalkan titik luarnya $P(x_0,y_0)$ dan lingkarannya $x^2+y^2=r^2$ . Garis tak vertikal yang melalui $P$ memiliki gradien $m$ .

Persamaannya ialah $y-y_0=m(x-x_0)$ , atau $y=mx-mx_0+y_0$ .

Substitusikan bentuk tersebut ke persamaan lingkaran. Garis singgung bertemu lingkaran pada satu titik kembar, sehingga persamaan kuadrat dalam $x$ harus memiliki diskriminan nol:

x^2 + (mx - mx_0 + y_0)^2 = r^2

Setelah disederhanakan, syarat diskriminan menjadi:

\begin{aligned} &(x_0^2 - r^2)m^2 - 2x_0y_0m + (y_0^2 - r^2) \\ &= 0 \end{aligned}

Akar-akarnya adalah gradien kedua garis singgung tak vertikal. Jika mungkin ada garis singgung vertikal, periksa $x=x_0$ secara terpisah karena garis itu tidak dapat ditulis sebagai $y=mx+c$ .

Menentukan Dua Garis Singgung dari Titik di Luar Lingkaran

Tentukan kedua garis singgung lingkaran $x^2+y^2=25$ yang melalui titik $A(7,1)$ .

Langkah 1: Pastikan $A$ berada di luar lingkaran.

7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50 > 25 \quad \checkmark

Langkah 2: Substitusikan $x_0=7$ , $y_0=1$ , dan $r^2=25$ ke persamaan kuadrat untuk $m$ :

\begin{aligned} &(49 - 25)m^2 - 2(7)(1)m + (1 - 25) \\ &= 0 \end{aligned}

Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadratnya.

\begin{aligned} m &= \frac{7 \pm \sqrt{49 + 576}}{24} \\ &= \frac{7 \pm \sqrt{625}}{24} \\ &= \frac{7 \pm 25}{24} \end{aligned}

Jadi $m_1 = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$ dan $m_2 = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$ .

Langkah 4: Gunakan setiap gradien pada persamaan titik-gradien yang melalui $A$ .

y - 1 = \frac{4}{3}(x - 7) \Rightarrow 4x - 3y = 25

Latihan

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ di titik $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ .
Carilah kedua persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 9$ yang bergradien $-\frac{1}{2}$ .
Tentukan kedua persamaan garis singgung lingkaran $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ yang melalui titik $(11, 10)$ .
Sebuah lingkaran memiliki persamaan $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$ . Tentukan kedua persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis $3x + 4y = 7$ .

Pembahasan Lengkap

Penyelesaian:

Untuk lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ di titik $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ , gunakan rumus:

$x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2$

Langkah 1: Substitusi koordinat titik singgung
$x \cdot 2\sqrt{2} + y \cdot 2\sqrt{2} = 16$
Langkah 2: Sederhanakan dengan membagi kedua ruas dengan $2\sqrt{2}$

$\begin{aligned} x + y &= \frac{16}{2\sqrt{2}} \\ &= \frac{8}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{8\sqrt{2}}{2} \\ &= 4\sqrt{2} \end{aligned}$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $x + y = 4\sqrt{2}$ .
Penyelesaian:

Untuk gradien $m = -\frac{1}{2}$ dan $r = 3$ , gunakan rumus:

$y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$

Langkah 1: Hitung nilai $\sqrt{1 + m^2}$

$\begin{aligned} \sqrt{1 + m^2} &= \sqrt{1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{1 + \frac{1}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{5}{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5}}{2} \end{aligned}$

Langkah 2: Substitusi ke rumus

$y = -\frac{1}{2}x \pm 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{2}x \pm \frac{3\sqrt{5}}{2}$

Jadi dua persamaan garis singgung: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{5}}{2}$ dan $y = -\frac{1}{2}x - \frac{3\sqrt{5}}{2}$ .
Penyelesaian:

Lingkaran $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ memiliki pusat $(3,4)$ dan jari-jari $r = 5$ .

Langkah 1: Cek posisi titik $(11,10)$

$\begin{aligned} &(11-3)^2 + (10-4)^2 \\ &= 8^2 + 6^2 \\ &= 64 + 36 \\ &= 100 > 25 \end{aligned}$

Titik di luar lingkaran.

Langkah 2: Geser pusat ke titik asal. Relatif terhadap pusat, titik $(11,10)$ memiliki koordinat $(8,6)$ .

Langkah 3: Susun persamaan kuadrat untuk gradien dari $(8,6)$ ke lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ .
$\begin{aligned} &(8^2 - 25)m^2 - 2(8)(6)m \\ &\quad{}+ (6^2 - 25) = 0 \end{aligned}$
Langkah 4: Selesaikan dengan rumus kuadrat.
$\begin{aligned} m &= \frac{96 \pm \sqrt{96^2 - 4(39)(11)}}{2(39)} \\ &= \frac{96 \pm \sqrt{9216 - 1716}}{78} \end{aligned}$
Langkah 5: Sederhanakan gradien dan gunakan bentuk titik-gradien melalui $(11,10)$ .
$\begin{aligned} &m_1 = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} \\ &\text{dan} \\ &m_2 = \frac{48 - 25\sqrt{3}}{39} \end{aligned}$
Inilah dua garis singgung yang melalui $(11,10)$ .
Penyelesaian:

Langkah 1: Lengkapi kuadrat agar persamaan lingkaran berbentuk standar.
$x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$
Pusat $(3,4)$ , jari-jari $r = 5$ .

Langkah 2: Baca gradien garis yang diberikan. Karena $3x + 4y = 7$ dapat ditulis sebagai $y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$ , setiap garis sejajar memiliki gradien $m = -\frac{3}{4}$ .

Langkah 3: Substitusikan pusat $(3,4)$ , jari-jari, dan gradien ke rumus garis singgung.
$y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \pm 5\sqrt{1 + \frac{9}{16}}$
Langkah 4: Sederhanakan kedua persamaan.
$y = -\frac{3}{4}x + \frac{50}{4} = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{2}$
Jadi dua persamaan garis singgung: $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{2}$ dan $y = -\frac{3}{4}x$ .