Pernahkah kamu memperhatikan bagaimana roda sepeda bergerak di jalan? Saat roda berputar, ada satu titik di tepi roda yang selalu menyentuh aspal dengan sempurna. Nah, kalau kita menarik garis lurus dari titik sentuh itu, garis tersebut disebut garis singgung.
Pelajaran ini berfokus pada cara menemukan persamaan matematika eksplisit dari garis singgung. Persamaan itu memberi tahu garis lurus mana yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik.
Kemampuan menentukan persamaan garis singgung sangat berguna dalam rekayasa, fisika, dan bahkan seni. Bayangkan seorang arsitek yang merancang lengkungan jembatan, atau insinyur yang menghitung lintasan proyektil.
Ketika kita sudah tahu titik mana di lingkaran yang akan disentuh garis singgung, pekerjaan kita menjadi lebih terarah. Mari kita lihat pendekatan sistematis untuk kasus ini.
Garis Singgung pada Titik Tertentu
Mengkonstruksi persamaan garis singgung ketika titik sentuhnya sudah diketahui.
Untuk lingkaran x2+y2=r2 dengan titik singgung M(p,q), kita menggunakan rumus substitusi langsung:
px+qy=r2
Kenapa rumus ini bekerja? Karena garis singgung selalu tegak lurus dengan jari-jari di titik singgung. Jika jari-jari memiliki arah vektor (p,q), maka garis singgung memiliki vektor normal yang sama, yaitu (p,q).
Untuk lingkaran umum (x−h)2+(y−k)2=r2 dengan titik singgung M(p,q), rumusnya menjadi:
(p−h)(x−h)+(q−k)(y−k)=r2
Keunggulan metode ini adalah kecepatan dan akurasi. Kita tidak perlu menghitung gradien secara terpisah atau melakukan manipulasi aljabar yang rumit.
Sekarang kita beralih ke kasus yang lebih menantang: mencari persamaan garis singgung ketika hanya gradiennya yang diketahui. Di sini kita menggunakan prinsip bahwa jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung harus sama dengan jari-jari.
Garis Singgung dengan Kemiringan Tertentu
Menggunakan pendekatan jarak untuk menemukan persamaan dengan gradien yang diberikan.
Misalkan kita memiliki lingkaran (x−h)2+(y−k)2=r2 dan ingin mencari garis singgung dengan gradien m. Garis singgung berbentuk y=mx+c.
Kunci utama adalah menggunakan rumus jarak titik ke garis. Jarak dari pusat (h,k) ke garis mx−y+c=0 adalah:
d=m2+1∣mh−k+c∣
Karena garis menyinggung lingkaran, jarak ini harus tepat sama dengan jari-jari:
m2+1∣mh−k+c∣=r
∣mh−k+c∣=rm2+1
mh−k+c=±rm2+1
Sehingga diperoleh dua nilai konstanta:
c=k−mh±rm2+1
Dengan demikian, persamaan kedua garis singgung adalah:
Kasus paling menantang adalah ketika kita ingin menarik garis singgung dari titik di luar lingkaran. Dari satu titik eksternal, kita bisa menarik tepat dua garis singgung dengan gradien yang berbeda.
Garis Singgung dari Titik Eksternal
Menggunakan metode kuadratik dalam gradien untuk titik di luar lingkaran.
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita menggunakan pendekatan persamaan kuadrat dalam gradien. Misalkan titik eksternal adalah P(x0,y0) dan lingkaran memiliki persamaan x2+y2=r2.
Garis singgung dari titik P berbentuk y−y0=m(x−x0), atau y=mx−mx0+y0.
Substitusikan ke persamaan lingkaran dan gunakan syarat diskriminan nol:
x2+(mx−mx0+y0)2=r2
(1+m2)x2+2m(y0−mx0)x+(y0−mx0)2−r2=0
Diskriminan sama dengan nol memberikan persamaan kuadrat dalam m:
(x02−r2)m2−2x0y0m+(y02−r2)=0
Dua akar persamaan ini adalah gradien kedua garis singgung.
