For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Banyak besaran fisika berubah secara kontinu. Gaya dapat berubah terhadap posisi, misalnya, sehingga satu nilai gaya tidak mewakili seluruh lintasan. Integral menjumlahkan kontribusi pada setiap bagian interval yang dipilih.
Gagasan yang sama berlaku saat laju atau kerapatan diketahui. Integral dari laju perubahan memberikan perubahan total, sedangkan integral dari kerapatan memberikan jumlah yang tersebar sepanjang garis, bidang, atau volume.
Mulai dari usaha. Gaya konstan yang sejajar dengan perpindahan melakukan usaha sebesar . Secara umum, usaha merupakan integral garis . Dalam satu dimensi, ketika gaya dan gerak sama-sama berada di sepanjang sumbu , integral usaha menjadi .
Bayangkan sebuah partikel berada pada koordinat , yang diukur dalam meter dari titik asal. Gaya Newton bekerja searah sumbu positif. Berapa usaha yang dilakukan gaya ini ketika partikel bergerak dari ke ?
Karena gaya berubah terhadap posisi, kita tidak dapat mengalikan satu nilai dengan seluruh perpindahan. Sebagai gantinya, kita mengakumulasikan usaha di sepanjang lintasan:
Selesaikan:
Jadi, gaya tersebut melakukan usaha sebesar Joule, atau sekitar Joule.
Sekarang kita gunakan integral pada Hukum Hooke. Pernahkah kamu main trampolin atau menekan pegas? Semakin jauh kita menekan pegas, semakin besar gaya yang diperlukan. Inilah yang dijelaskan oleh Hukum Hooke.
Menurut Hukum Hooke, gaya pemulih pegas berlawanan arah dengan perpindahannya. Jika pegas diregangkan atau ditekan perlahan, gaya luar yang diperlukan untuk menahannya pada perpindahan memiliki besar yang sama dan arah yang berlawanan:
Di sini adalah konstanta pegas dan adalah perpindahan bertanda dari posisi kesetimbangan. Integral memberikan usaha luar pada pegas, sekaligus pertambahan energi potensial elastisnya.
Lihat contoh nyata. Misalkan diperlukan gaya untuk menahan pegas yang telah direntangkan dari panjang aslinya sampai . Sekarang, berapa usaha yang diperlukan untuk meregangkan pegas dari menjadi ?
Pertama, kita tentukan konstanta pegas. Perpindahan dari posisi kesetimbangan adalah . Karena besar gaya penahan memenuhi :
Sehingga .
Untuk menghitung usaha luar saat pegas diregangkan dari ke , ukur kedua posisi terhadap panjang kesetimbangannya:
Kita bisa menghitung usaha dengan integral:
Jika densitas benda berubah terhadap posisi, massa benda adalah integral fungsi densitas terhadap panjang, luas, atau volumenya.
Misalkan kita memiliki batang sepanjang dengan densitas linear , dengan sebagai koordinat numerik dalam meter dari salah satu ujung batang. Berapa massa total batang tersebut?
Untuk benda dengan densitas yang tidak seragam, integral juga dapat digunakan untuk menentukan pusat massa.
Jika kita memiliki batang dengan densitas sepanjang interval , maka koordinat pusat massa adalah:
Untuk batang dengan densitas di atas:
Pusat massa adalah koordinat tempat massa total menghasilkan momen pertama yang sama dengan distribusi massa sebenarnya. Titik ini menjadi titik keseimbangan alami dalam medan gravitasi seragam dan menggambarkan gerak translasi sistem, sedangkan perilaku rotasinya tetap bergantung pada sebaran massa.
Momen inersia mengukur sebaran massa terhadap sumbu rotasi tertentu. Untuk rotasi pada sumbu tetap, besaran ini menentukan percepatan sudut yang dihasilkan oleh suatu torsi melalui . Pada benda kontinu, momen inersia dihitung dengan:
Pada rumus ini, adalah jarak dari sumbu rotasi dan adalah elemen massa.
Untuk batang homogen dengan massa dan panjang yang berputar terhadap salah satu ujungnya:
Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu dengan gaya Newton. Hitunglah usaha yang dilakukan untuk memindahkan partikel dari ke !
Sebuah pegas memiliki konstanta pegas . Berapa energi yang tersimpan dalam pegas ketika diregangkan sejauh dari posisi kesetimbangan?
Sebuah kawat sepanjang memiliki densitas linear , dengan diukur dalam meter. Tentukan massa total kawat dan posisi pusat massanya.
Menghitung usaha dengan gaya variabel
Usaha yang dilakukan adalah Joule.
Menghitung energi pegas
Energi potensial yang tersimpan dalam pegas adalah:
Menghitung massa dan pusat massa kawat
Massa total:
Diterbitkan: . Diperbarui: .
Energi potensial yang tersimpan adalah Joule.
Pusat massa:
Massa total kawat adalah dan pusat massanya berada pada posisi dari ujung.
