Integral dalam Bidang Fisika

Integral Menjumlahkan Besaran yang Berubah

Banyak besaran fisika berubah secara kontinu. Gaya dapat berubah terhadap posisi, misalnya, sehingga satu nilai gaya tidak mewakili seluruh lintasan. Integral menjumlahkan kontribusi pada setiap bagian interval yang dipilih.

Gagasan yang sama berlaku saat laju atau kerapatan diketahui. Integral dari laju perubahan memberikan perubahan total, sedangkan integral dari kerapatan memberikan jumlah yang tersebar sepanjang garis, bidang, atau volume.

Menghitung Usaha dengan Integral

Mulai dari usaha. Gaya konstan yang sejajar dengan perpindahan melakukan usaha sebesar $W=Fs$ . Secara umum, usaha merupakan integral garis $W=\int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ . Dalam satu dimensi, ketika gaya dan gerak sama-sama berada di sepanjang sumbu $x$ , integral usaha menjadi $W=\int F(x)\,dx$ .

Bayangkan sebuah partikel berada pada koordinat $x$ , yang diukur dalam meter dari titik asal. Gaya $F(x) = x^2 + 2x$ Newton bekerja searah sumbu $x$ positif. Berapa usaha yang dilakukan gaya ini ketika partikel bergerak dari $x = 1 \text{ meter}$ ke ?

Karena gaya berubah terhadap posisi, kita tidak dapat mengalikan satu nilai $F$ dengan seluruh perpindahan. Sebagai gantinya, kita mengakumulasikan usaha di sepanjang lintasan:

\begin{aligned} W &= \int_{1}^{3} F(x) \, dx \\ &= \int_{1}^{3} (x^2 + 2x) \, dx \end{aligned}

Selesaikan:

W = \left[\frac{x^3}{3} + x^2\right]_{1}^{3}

Jadi, gaya tersebut melakukan usaha sebesar $\frac{50}{3}$ Joule, atau sekitar $16{,}67$ Joule.

Hukum Hooke dan Energi Pegas

Semakin jauh sebuah pegas ditekan atau diregangkan, semakin besar gaya yang diperlukan untuk menahannya.

Menurut Hukum Hooke, gaya pemulih pegas berlawanan arah dengan perpindahannya. Jika pegas diregangkan atau ditekan perlahan, gaya luar yang diperlukan untuk menahannya pada perpindahan $x$ memiliki besar yang sama dan arah yang berlawanan:

F_s(x)=-kx,\qquad F_{\mathrm{ext}}(x)=kx

Di sini $k$ adalah konstanta pegas dan $x$ adalah perpindahan bertanda dari posisi kesetimbangan. Integral $F_{\mathrm{ext}}$ memberikan usaha luar pada pegas, sekaligus pertambahan energi potensial elastisnya.

Lihat contoh nyata. Misalkan diperlukan gaya $40 \text{ N}$ untuk menahan pegas yang telah direntangkan dari panjang aslinya $10 \text{ cm}$ sampai $15 \text{ cm}$ . Sekarang, berapa usaha yang diperlukan untuk meregangkan pegas dari $15 \text{ cm}$ menjadi $18 \text{ cm}$ ?

Pertama, kita tentukan konstanta pegas. Perpindahan dari posisi kesetimbangan adalah $15 - 10 = 5 \text{ cm} = 0{,}05 \text{ m}$ . Karena besar gaya penahan memenuhi $F_{\mathrm{ext}} = kx$ :

40 = k \times 0{,}05

Sehingga $k = \frac{40}{0{,}05} = 800 \text{ N/m}$ .

Untuk menghitung usaha luar saat pegas diregangkan dari $15 \text{ cm}$ ke $18 \text{ cm}$ , ukur kedua posisi terhadap panjang kesetimbangannya:

Posisi $15 \text{ cm} = 0{,}05 \text{ m}$ dari posisi alami
Posisi $18 \text{ cm} = 0{,}08 \text{ m}$ dari posisi alami

Kita bisa menghitung usaha dengan integral:

W = \int_{0{,}05}^{0{,}08} 800x \, dx

Menghitung Massa dari Fungsi Densitas

Jika densitas benda berubah terhadap posisi, massa benda adalah integral fungsi densitas terhadap panjang, luas, atau volumenya.

Misalkan kita memiliki batang sepanjang $2 \text{ meter}$ dengan densitas linear $\rho(x) = (3x + 2)\,\text{kg/m}$ , dengan $x$ sebagai koordinat numerik dalam meter dari salah satu ujung batang. Berapa massa total batang tersebut?

m = \int_{0}^{2} \rho(x) \, dx = \int_{0}^{2} (3x + 2) \, dx

Menentukan Pusat Massa

Untuk benda dengan densitas yang tidak seragam, integral juga dapat digunakan untuk menentukan pusat massa.

Jika kita memiliki batang dengan densitas $\rho(x)$ sepanjang interval $[a, b]$ , maka koordinat pusat massa adalah:

\bar{x} = \frac{\int_{a}^{b} x \rho(x) \, dx}{\int_{a}^{b} \rho(x) \, dx}

Untuk batang dengan densitas $\rho(x) = 3x + 2$ di atas:

\bar{x} = \frac{\int_{0}^{2} x(3x + 2) \, dx}{10}

Pusat massa adalah koordinat tempat massa total menghasilkan momen pertama yang sama dengan distribusi massa sebenarnya. Titik ini menjadi titik keseimbangan alami dalam medan gravitasi seragam dan menggambarkan gerak translasi sistem, sedangkan perilaku rotasinya tetap bergantung pada sebaran massa.

Menghitung Momen Inersia

Momen inersia mengukur sebaran massa terhadap sumbu rotasi tertentu. Untuk rotasi pada sumbu tetap, besaran ini menentukan percepatan sudut yang dihasilkan oleh suatu torsi melalui $\tau=I\alpha$ . Pada benda kontinu, momen inersia dihitung dengan:

I = \int r^2 \, dm

Pada rumus ini, $r$ adalah jarak dari sumbu rotasi dan $dm$ adalah elemen massa.

Untuk batang homogen dengan massa $M$ dan panjang $L$ yang berputar terhadap salah satu ujungnya:

\begin{aligned} I &= \int_{0}^{L} x^2 \frac{M}{L} \, dx \\ &= \frac{M}{L} \int_{0}^{L} x^2 \, dx \\ &= \frac{M}{L} \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{L} \\ &= \frac{ML^2}{3} \end{aligned}

Latihan

Setiap soal memberikan laju seperti kecepatan atau daya dan meminta besaran yang terakumulasi, jadi integralkan laju itu pada selang waktu yang disebutkan. Satuan hasilnya mengikuti satuan laju dikalikan satuan selangnya, sehingga kamu bisa memeriksa satuan itu setelah menghitung untuk memastikan jawabannya sesuai besaran yang diminta.

Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu $x$ dengan gaya $F(x) = 4x - x^2$ Newton. Hitunglah usaha yang dilakukan untuk memindahkan partikel dari $x = 0$ ke !

Pembahasan Terperinci

Menghitung usaha dengan gaya variabel
$W = \int_{0}^{3} (4x - x^2) \, dx$