Sifat Integral Tak Tentu

Aturan Pangkat

Untuk pangkat dari variabel integrasi, gunakan:

\begin{aligned} &\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C, \\ &\text{dengan } n \neq -1 \end{aligned}

Naikkan pangkatnya satu, lalu bagi dengan pangkat baru tersebut.

Nilai $n=-1$ dikecualikan karena akan membuat penyebut nol. Kasus itu mengikuti aturan logaritma $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$ .

Sebagai contoh, evaluasi $\int x^5 \, dx$ .

Di sini, $n=5$ , sehingga:

\int x^5 \, dx = \frac{1}{5+1}x^{5+1} + C

Aturan Kelipatan Konstanta

Faktor konstan dapat dipindahkan ke luar integral:

\int a \cdot f(x) \, dx = a \int f(x) \, dx

Aturan ini mensyaratkan $a$ konstan terhadap variabel integrasi.

Aturan Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan atau pengurangan dapat diintegralkan suku demi suku.

\begin{aligned} &\int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \\ &\pm \int g(x) \, dx \end{aligned}

Contohnya, untuk menyelesaikan $\int (x^4 - x^3) \, dx$ , kita pisahkan dulu:

\int (x^4 - x^3) \, dx = \int x^4 \, dx - \int x^3 \, dx

Tuliskan satu konstanta $C$ di akhir. Secara formal, kita dapat menulis $C_1$ dan $C_2$ untuk kedua antiturunan, tetapi jumlah atau selisih kedua konstanta itu kembali menjadi konstanta sembarang. Karena itu, satu $C$ sudah mencakup semua nilai yang mungkin.

Aturan Substitusi

Jika integran memuat ekspresi komposit beserta turunannya atau kelipatan konstannya, tetapkan ekspresi bagian dalam sebagai variabel baru, biasanya $u=g(x)$ . Setelah itu, $du=g'(x)\,dx$ menggantikan faktor turunan yang sesuai.

\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du

Perubahan variabel ini disebut substitusi u. Jika faktor turunannya tersedia, integran yang tersusun berubah menjadi $f(u)$ .

Latihan

Setiap soal memakai sifat kelinearan, jadi pisahkan jumlahnya menjadi beberapa integral, keluarkan konstantanya, lalu integralkan setiap suku dengan aturan pangkat. Soal ketiga memerlukan aturan substitusi karena satu faktornya adalah turunan dari bagian di dalam pangkat, sehingga sifat kelinearan saja belum cukup.

Tentukan hasil dari $\int 6x^2 \, dx$ !
Tentukan hasil dari $\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx$ !
Selesaikan integral $\int 2x(x^2 + 3)^4 \, dx$ menggunakan aturan substitusi!

Pembahasan Terperinci

Untuk menyelesaikan $\int 6x^2 \, dx$ , kita bisa menggunakan Aturan Kelipatan Konstanta dan Aturan Pangkat.

Langkah 1: Keluarkan konstanta $6$ dari integral.

$\int 6x^2 \, dx = 6 \int x^2 \, dx$

Langkah 2: Gunakan aturan pangkat pada $\int x^2 \, dx$ dengan $n=2$ .
$6 \left( \frac{1}{2+1}x^{2+1} \right) + C$
Langkah 3: Kalikan konstantanya untuk mendapatkan hasil akhir.

$= 2x^3 + C$
Untuk integral $\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx$ , kita gunakan Aturan Penjumlahan dan Pengurangan untuk memecahnya menjadi tiga integral terpisah.

Langkah 1: Pisahkan setiap suku menjadi integralnya sendiri.

$\int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx - \int 5 \, dx$

Langkah 2: Selesaikan setiap integral satu per satu menggunakan aturan pangkat dan konstanta.
$= 3\left(\frac{1}{3}x^3\right) + 2\left(\frac{1}{2}x^2\right) - 5x + C$
Jadi, jawabannya adalah $x^3 + x^2 - 5x + C$ .
Integral $\int 2x(x^2 + 3)^4 \, dx$ adalah contoh klasik untuk Aturan Substitusi.

Langkah 1: Pilih bagian dari fungsi untuk dijadikan $u$ . Pilihan yang baik adalah bagian dalam kurung.

Misalkan: $u = x^2 + 3$ .

Langkah 2: Cari turunan dari $u$ terhadap $x$ , yaitu $du/dx$ .

$\frac{du}{dx} = 2x$

Dari sini, kita bisa menulis $du = 2x \, dx$ .

Langkah 3: Lakukan substitusi. Ganti $x^2+3$ dengan $u$ dan $2x \, dx$ dengan $du$ .

$\int (x^2 + 3)^4 (2x \, dx) = \int u^4 \, du$

Langkah 4: Selesaikan integral yang sudah disederhanakan menggunakan aturan pangkat.

$\int u^4 \, du = \frac{1}{5}u^5 + C$

Langkah 5: Kembalikan $u$ ke bentuk aslinya.

$= \frac{1}{5}(x^2 + 3)^5 + C$

Inilah hasil akhirnya.