Sifat Integral Tentu

Batas Integrasi yang Sama

Jika batas atas dan bawah dari suatu integral tentu sama, maka hasilnya adalah nol.

\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0

Integral tentu mengakumulasi suatu besaran pada interval berarah. Dari $a$ kembali ke titik $a$ yang sama, intervalnya tidak memiliki lebar. Karena itu, hasil akumulasinya nol berapa pun nilai integrannya.

Penukaran Batas Integrasi

Ketika kita menukar batas bawah dan batas atas dari suatu integral, hasilnya akan menjadi negatif dari nilai integral aslinya.

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = - \int_{b}^{a} f(x) \, dx

Batas bawah dan batas atas menentukan arah interval integrasi. Saat urutan kedua batas ditukar, arah interval berbalik dan tanda setiap kontribusi terhadap akumulasi ikut berubah. Karena itu, nilai integral menjadi negatif dari nilai semula.

Aturan Kelipatan Konstanta

Sama seperti pada integral tak tentu, konstanta dapat dikeluarkan dari integral untuk menyederhanakan perhitungan.

\int_{a}^{b} kf(x) \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx

Jika setiap nilai fungsi dikalikan konstanta $k$ , nilai integralnya juga dikalikan faktor yang sama. Karena itu, kita dapat menghitung $\int f(x)dx$ terlebih dahulu, lalu mengalikan hasilnya dengan $k$ .

Aturan Penjumlahan dan Pengurangan

Integral dari penjumlahan atau pengurangan dua fungsi adalah sama dengan jumlah atau selisih dari integral masing-masing fungsi.

\begin{aligned} \int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx &= \int_{a}^{b} f(x) \, dx \\ &\quad{}+ \int_{a}^{b} g(x) \, dx \end{aligned}

Sifat linearitas ini memungkinkan integran yang rumit dipecah menjadi bagian lebih sederhana. Kita mengintegralkan $f(x)$ dan $g(x)$ secara terpisah, lalu menggabungkan akumulasi bertandanya dengan operasi yang sama.

Sifat Penambahan Interval

Interval integrasi dapat dipecah pada sebuah titik antara. Akumulasi bertanda pada seluruh interval sama dengan jumlah akumulasi pada kedua bagiannya.

\begin{aligned} \int_{a}^{c} f(x) \, dx &= \int_{a}^{b} f(x) \, dx \\ &\quad{}+ \int_{b}^{c} f(x) \, dx \end{aligned}

Identitas ini berlaku untuk urutan $a$ , $b$ , dan $c$ apa pun, selama fungsi dapat diintegralkan pada interval yang diperlukan. Artinya, akumulasi dari $a$ ke $c$ sama dengan akumulasi dari $a$ ke $b$ ditambah akumulasi dari $b$ ke $c$ . Pada fungsi bagian demi bagian, pisahkan integral di titik pergantian rumus, lalu integralkan setiap rumus pada intervalnya.