Peluang Kejadian Majemuk

Memadukan Hasil Dadu dan Koin dalam Satu Kejadian

Banyak soal peluang menggabungkan dua atau lebih kejadian. Sebuah dadu dan koin dapat dilempar bersama, atau dua kartu dapat diambil dari satu set kartu. Situasi seperti ini melibatkan kejadian majemuk.

Kejadian majemuk menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana dalam satu model peluang. Misalnya, kita dapat mempelajari satu syarat yang melibatkan hasil dadu dan hasil koin sekaligus.

Bayangkan kamu melempar sebuah dadu dan sebuah koin. Kejadian sederhana dapat berfokus pada dadu saja atau koin saja. Kejadian majemuk mempertimbangkan keduanya, misalnya “dadu menunjukkan $3$ DAN koin menunjukkan sisi gambar.”

Jenis Kejadian Majemuk

Dua kejadian bisa berbagi hasil atau saling meniadakan, dan perbedaan itu menentukan rumus yang dipakai. Memeriksa satu hasil yang termasuk kedua kejadian biasanya cukup untuk membedakan kedua kasus itu sebelum kamu menghitung.

Kejadian Saling Lepas

Dua kejadian saling lepas jika keduanya tidak dapat terjadi dalam percobaan yang sama. Jika kejadian $A$ terjadi, kejadian $B$ tidak dapat terjadi, begitu pula sebaliknya.

Contoh yang umum adalah satu lemparan dadu. Kejadian “hasilnya genap” dan “hasilnya ganjil” saling lepas karena satu hasil tidak mungkin sekaligus genap dan ganjil.

Untuk kejadian saling lepas, rumus peluangnya adalah:

Contoh Perhitungan:

Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang hasilnya genap atau hasilnya $1$ atau $3$.

Penyelesaian:

Ruang sampel: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

• Kejadian $A$ (angka genap): $A = \{2, 4, 6\}$
• Kejadian $B$ (angka $1$ atau $3$):

Periksa irisan: $A \cap B = \emptyset$ (himpunan kosong)

Karena tidak ada irisan, maka kedua kejadian saling lepas.

Kejadian Tidak Saling Lepas

Dua kejadian tidak saling lepas jika keduanya dapat terjadi dalam percobaan yang sama. Irisannya tidak kosong.

Misalnya, kejadian “mengambil kartu merah” dan “mengambil kartu As” tidak saling lepas. As Hati dan As Wajik memenuhi kedua syarat tersebut.

Untuk kejadian tidak saling lepas, rumusnya adalah:

Kita mengurangi $P(A \cap B)$ karena hasil pada irisan sudah dihitung sekali dalam $P(A)$ dan sekali lagi dalam $P(B)$.

Contoh Perhitungan:

Dari sekotak kartu bridge standar, satu kartu diambil secara acak. Tentukan peluang terambilnya kartu merah atau kartu bergambar (Jack, Queen, King).

Penyelesaian:

Total kartu $= 52$

• Kejadian $A$ (kartu merah): $26 \text{ kartu}$ ($13 \text{ Hati} + 13 \text{ Wajik}$)
• Kejadian $B$ (kartu bergambar): $12 \text{ kartu}$ ()

Irisan (kartu merah dan bergambar): $6 \text{ kartu}$ (Jack, Queen, King dari Hati dan Wajik)

Kejadian Saling Bebas

Dua kejadian saling bebas jika informasi bahwa satu kejadian telah terjadi tidak mengubah distribusi peluang kejadian lainnya. Waktu terjadinya kedua kejadian belum menentukan sifat ini. Periksa peluangnya.

Contoh sederhana adalah dua koin adil. Mengetahui bahwa koin pertama menunjukkan sisi angka tidak mengubah koin kedua: peluang sisi gambar tetap $50\%$.

Rumus untuk kejadian saling bebas:

Contoh Perhitungan:

Dua dadu adil dilempar. Tentukan peluang dadu pertama menunjukkan $3$ dan dadu kedua menunjukkan bilangan genap.

Penyelesaian:

• Kejadian $A$ (angka $3$ pada dadu pertama): $1 \text{ kemungkinan}$ dari $6$
• Kejadian $B$ (angka genap pada dadu kedua): $\{2, 4, 6\} = 3 \text{ kemungkinan}$ dari

Karena hasil dadu pertama tidak memengaruhi hasil dadu kedua, kedua kejadian tersebut saling bebas.

Kejadian Tidak Saling Bebas

Dua kejadian tidak saling bebas jika hasil kejadian pertama mengubah peluang kejadian berikutnya. Kondisi pada tahap kedua tidak lagi sama dengan kondisi awal.

Salah satu penyebab yang umum adalah pengambilan tanpa pengembalian. Benda yang terambil tidak dikembalikan, sehingga jumlah seluruh benda dan mungkin juga jumlah hasil yang diinginkan berubah.

Rumus untuk kejadian tidak saling bebas:

Pada rumus ini, $P(B|A)$ adalah peluang kejadian $B$ terjadi setelah kejadian $A$ diketahui telah terjadi.

Contoh Perhitungan:

Dalam sebuah kotak terdapat $8 \text{ bola}$ biru dan $4 \text{ bola}$ kuning. Dua bola diambil secara acak tanpa pengembalian. Tentukan peluang kedua bola yang terambil berwarna biru.

Penyelesaian:

Total bola awal adalah $8 + 4 = 12 \text{ bola}$

• Kejadian $A$ (bola pertama biru): $8 \text{ bola}$ biru dari $12 \text{ bola}$ total
• Kejadian $B$ (bola kedua biru setelah $A$): Karena $1 \text{ bola}$ biru sudah diambil, tersisa biru dari total

Karena pengambilan tanpa pengembalian, kondisi berubah setelah pengambilan pertama, sehingga ini adalah kejadian tidak saling bebas.

Perhitungan Gabungan dan Irisan

Gabungan dan irisan menjawab pertanyaan berbeda tentang dua kejadian yang sama. Pada gabungan, hasil yang termasuk salah satu kejadian ikut dihitung, sedangkan irisan hanya menyimpan hasil yang termasuk keduanya.

Operasi Gabungan

Untuk mencari peluang “kejadian $A$ ATAU kejadian $B$,” gunakan gabungan. Kata “atau” bersifat inklusif: sedikitnya satu kejadian terjadi, dan hasil pada irisan juga termasuk.

Dalam pelemparan dadu, jika kita ingin mencari peluang munculnya angka ganjil atau angka prima, kita perlu mempertimbangkan apakah kedua kejadian saling lepas atau tidak.

Operasi Irisan

Untuk mencari peluang “kejadian $A$ DAN kejadian $B$,” gunakan irisan. Setiap hasil yang dihitung harus memenuhi kedua syarat.

Dalam konteks pengambilan kartu, jika kita mencari peluang "mengambil kartu merah DAN kartu bernomor genap", kita harus menghitung kartu yang memenuhi kedua kriteria tersebut.

Strategi Penyelesaian Masalah

Awali soal peluang majemuk dengan mengidentifikasi hubungan antarkejadian. Kata kunci membantu, tetapi mekanisme peluang tetap menjadi penentu:

1. "atau" menunjukkan operasi gabungan
2. "dan" menunjukkan operasi irisan
3. "tanpa pengembalian" menunjukkan kejadian tidak saling bebas
4. "dengan pengembalian" sering mempertahankan kebebasan, tetapi pastikan bahwa satu hasil benar-benar tidak mengubah peluang kejadian lainnya

Kemudian periksa apakah kedua kejadian dapat terjadi bersama. Pilih rumus setelah dua pertanyaan itu terjawab, lalu pastikan tidak ada irisan yang terhitung dua kali.

Latihan

Coba kerjakan setiap soal sebelum membuka pembahasannya. Namai kejadiannya, tentukan apakah soal meminta gabungan atau irisan, lalu jelaskan apakah kejadiannya saling lepas, saling bebas, atau tidak saling bebas.

1. Dalam pelemparan sebuah dadu, tentukan peluang munculnya mata dadu bilangan prima atau mata dadu bilangan ganjil.

2. Sebuah kotak berisi $6 \text{ bola}$ merah dan $4 \text{ bola}$ putih. Dua bola diambil secara acak tanpa pengembalian. Hitunglah peluang terambilnya kedua bola berwarna merah.

3. Dua dadu dilempar secara bersamaan. Tentukan peluang jumlah mata dadu yang muncul adalah $7$ atau $11$.

4. Dari sekotak kartu bridge standar, satu kartu diambil secara acak. Hitunglah peluang terambilnya kartu As atau kartu berwarna hitam.

Pembahasan

1. Penyelesaian:

   Ruang sampel: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, sehingga $n(S) = 6$