Peluang Bersyarat dan Kebebasan Kejadian

Peluang Bersyarat dan Kebergantungan

Kamu mengambil satu kartu, lalu temanmu mengambil kartu berikutnya. Apakah kartu pertama mengubah peluang kartu kedua? Jika kartu pertama tidak dikembalikan, peluang pengambilan kedua berubah. Peluang bersyarat menghitung peluang kedua setelah hasil pertama diketahui.

Dalam ruang sampel berhingga yang setiap hasilnya memiliki peluang sama, peluang bersyarat kejadian $B$ jika kejadian $A$ sudah terjadi adalah proporsi hasil di dalam $A$ yang juga termasuk $B$. Jika kondisi $A$ mengubah peluang $B$, kedua kejadian saling bergantung. Jika peluang $B$ tetap sama, kedua kejadian saling bebas.

Sebelum menghitung peluang berikutnya, batasi semua hasil yang mungkin berdasarkan kondisi yang sudah diketahui.

Rumus dan Notasi Matematis

Untuk kejadian $A$ dan $B$ dengan $P(A) > 0$, peluang bersyarat didefinisikan sebagai:

Pada rumus ini:

• $P(B|A)$ adalah peluang $B$ dengan syarat $A$ telah terjadi
• $P(A \cap B)$ adalah peluang $A$ dan $B$ terjadi bersama
• $P(A)$ adalah peluang kejadian syarat $A$

Dengan menyusun ulang definisi tersebut, kita memperoleh aturan perkalian umum:

Jika kedua kejadian saling bebas, informasi tentang $A$ tidak mengubah peluang $B$:

Penerapan pada Pengambilan Kartu

Mengambil kartu tanpa mengembalikan kartu pertama mengubah ruang sampel setelah setiap pengambilan. Kedua contoh di bawah memperbarui peluang pada pengambilan kedua. Karena kartu pertama tidak dikembalikan, penyebut peluang kedua berkurang satu.

Skenario Kartu As dan King

Satu set kartu standar berisi $52 \text{ kartu}$. Di dalamnya terdapat $4 \text{ kartu As}$ dan $4 \text{ kartu King}$. Dua kartu diambil tanpa pengembalian. Berapa peluang mendapat As terlebih dahulu dan King pada pengambilan kedua?

Analisis langkah demi langkah:

Misalkan:

• Kejadian $C$ adalah mendapat As pada pengambilan pertama
• Kejadian $D$ adalah mendapat King pada pengambilan kedua

Perhitungan peluang:

Setelah satu As diambil, tersisa $51 \text{ kartu}$. Seluruh $4 \text{ kartu King}$ masih ada, sehingga peluang bersyarat mendapat King adalah $\frac{4}{51}$.

Peluang Mengambil Dua Kartu Hati Secara Berurutan

Untuk melihat perubahan jumlah hasil yang diinginkan, perhatikan pengambilan dua kartu Hati berturut-turut:

• Pengambilan pertama: $P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
• Pengambilan kedua setelah mendapat hati: $P(B|A) = \frac{12}{51}$

Jadi, peluang kedua kartu yang terambil sama-sama Hati adalah:

Aplikasi dalam Seleksi Manajemen

Sebuah perusahaan meninjau distribusi manajer berdasarkan gender dan tingkat jabatan. Datanya memiliki komposisi berikut:

Misalkan $L$ menyatakan kejadian bahwa manajer yang terpilih adalah laki-laki.

Perusahaan memilih dua manajer secara acak tanpa pengembalian untuk sebuah komite. Peluang keduanya laki-laki adalah:

Setelah memilih satu manajer laki-laki, tersisa $599$ manajer total dengan $199$ manajer laki-laki, sehingga peluang memilih manajer laki-laki kedua berkurang menjadi $\frac{199}{599}$.

Cara Memperbarui Ruang Sampel Sebelum Mengalikan

Langkah pertama di bawah mengganti ruang sampel awal dengan hasil yang masih tersisa. Langkah berikutnya menunjukkan bagaimana penggantian itu membedakan peluang bersyarat dari hasil kali dua peluang bebas.

Perbarui Ruang Sampel Sebelum Mengalikan

Untuk menyelesaikan soal peluang bersyarat:

1. Identifikasi kejadian pertama dan kedua dengan jelas
2. Tentukan kondisi setelah kejadian pertama terjadi
3. Hitung peluang kejadian pertama dari kondisi awal
4. Hitung peluang bersyarat kejadian kedua setelah kejadian pertama
5. Kalikan kedua peluang untuk mendapat peluang gabungan

Perbedaan dengan Peluang Biasa

Pada kejadian saling bebas, kondisi tidak mengubah peluang berikutnya. Pada kejadian tidak saling bebas, hasil yang diketahui mengubah jumlah hasil yang diinginkan, jumlah seluruh hasil, atau keduanya.

Contoh konkret: mengambil dua kartu As

Contoh berikut menghitung peluang mendapat dua kartu As berturut-turut dari deck standar ($52 \text{ kartu}$, $4$ As). Misalkan $A_1$ menyatakan kejadian bahwa kartu pertama adalah As dan $A_2$ menyatakan kejadian bahwa kartu kedua adalah As.

1. Peluang Independen (Dengan Pengembalian):

   Jika setelah mengambil kartu pertama, kartu dikembalikan dan deck dikocok ulang:

   $$P(A_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$

   $$P(A_2) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$

   $$\begin{aligned} P(A_1 \cap A_2) &= \frac{4}{52} \times \frac{4}{52} \\ &= \frac{1}{13} \times \frac{1}{13} \\ &= \frac{1}{169} \end{aligned}$$

2. Pengambilan Tidak Bebas (Tanpa Pengembalian):

   Jika kartu pertama tidak dikembalikan:

   $$P(A_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$

   $$P(A_2|A_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$$

   $$\begin{aligned} P(A_1 \cap A_2) &= \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} \\ &= \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} \\ &= \frac{1}{221} \end{aligned}$$

Perbandingan Hasil:

• Peluang independen: $\frac{1}{169} = 0{,}00592$
• Peluang bersyarat: $\frac{1}{221} = 0{,}00452$

Pada contoh ini, pengambilan tanpa pengembalian memberi hasil yang lebih kecil karena jumlah As yang tersisa berkurang dari $4$ menjadi $3$, sementara total kartu berkurang dari $52$ menjadi $51$.

Latihan

1. Sebuah kotak berisi $8 \text{ bola}$ merah dan $12 \text{ bola}$ biru. Jika diambil dua bola secara berurutan tanpa pengembalian, hitunglah peluang mendapat bola merah pada pengambilan pertama dan bola biru pada pengambilan kedua.

2. Sebuah deck kartu dikocok acak. Tiga kartu diambil berturut-turut tanpa pengembalian. Berapa peluang mendapat kartu As pada pengambilan pertama, kartu King pada pengambilan kedua, dan kartu Queen pada pengambilan ketiga?

Coba kerjakan setiap latihan sebelum membaca pembahasannya. Pada setiap pengambilan, tulis jumlah hasil yang diinginkan dan jumlah seluruh hasil yang baru sebelum mengalikan peluang.

Pembahasan

1. Penyelesaian:

   Misalkan $A$ adalah mendapat bola merah pertama, dan $B$ adalah mendapat bola biru kedua

   Total bola awal adalah $8 + 12 = 20 \text{ bola}$

   $$P(A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$$

   $$P(B|A) = \frac{12}{19}$$

   $$\begin{aligned} P(A \cap B) &= \frac{8}{20} \times \frac{12}{19} \\ &= \frac{2}{5} \times \frac{12}{19} \\ &= \frac{24}{95} \end{aligned}$$

   Setelah mengambil satu bola merah, tersisa $19 \text{ bola}$ total ($8 - 1 = 7$ merah, $12$ biru). Jumlah bola biru tidak berubah (tetap $12$), sehingga peluang mengambil bola biru kedua adalah $\frac{12}{19}$.

2. Penyelesaian:

   Misalkan $A$ adalah mendapat As pertama, $K$ adalah mendapat King kedua, dan $Q$ adalah mendapat Queen ketiga

   Satu set kartu standar memiliki $52 \text{ kartu}$, termasuk $4$ As, $4$ King, dan $4$ Queen.

   $$P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$

   $$P(K|A) = \frac{4}{51}$$

   $$P(Q|A \cap K) = \frac{4}{50} = \frac{2}{25}$$

   $$\begin{aligned} P(A \cap K \cap Q) &= \frac{4}{52} \times \frac{4}{51} \times \frac{4}{50} \\ &= \frac{1}{13} \times \frac{4}{51} \times \frac{2}{25} \\ &= \frac{8}{16575} \end{aligned}$$

   Setiap pengambilan mengurangi jumlah total kartu ($52$→$51$→$50$). Peringkat kartu yang dibutuhkan berikutnya masih tersedia lengkap sebanyak $4$ kartu: mengambil As tidak mengurangi King, dan mengambil King tidak mengurangi Queen.