Permutasi Siklis

Susunan Melingkar yang Dianggap Sama

Di meja bundar, memindahkan semua orang satu kursi searah jarum jam tidak mengubah siapa yang duduk berdampingan. Permutasi siklis menghitung setiap urutan duduk relatif satu kali. Hasil rotasi dari urutan yang sama termasuk susunan yang sama.

Permutasi linear memakai posisi pertama dan terakhir yang tetap. Pada permutasi siklis, tidak ada posisi awal yang istimewa.

Setiap objek dapat dijadikan titik acuan. Urutan linear yang hanya berbeda karena rotasi mewakili susunan melingkar yang sama.

Rumus Permutasi Siklis

Untuk menentukan banyaknya cara menyusun $n$ objek berbeda dalam formasi melingkar, kita menggunakan rumus:

Keterangan:

• $P_n$ = permutasi siklis dari $n$ objek
• $n$ = banyaknya objek yang akan disusun
• $(n-1)!$ = faktorial dari $(n-1)$

Mengapa rumusnya $(n-1)!$?

Dalam permutasi melingkar, memutar semua objek bersama-sama tidak menghasilkan susunan baru. Contoh meja bundar menunjukkan mengapa susunan yang hanya berbeda karena rotasi dihitung satu kali.

Misalkan $3$ anak, yaitu $A$, $B$, dan $C$, duduk mengelilingi meja bundar. Urutan $ABC$, $BCA$, dan $CAB$ adalah susunan yang sama karena ketiganya hanya berbeda akibat rotasi dan posisi relatifnya tidak berubah.

Langkah perhitungan:

1. Tetapkan satu objek sebagai titik referensi (misalnya anak A)
2. Susun objek lainnya terhadap titik referensi ini
3. Sisa objek yang perlu disusun: $n-1$
4. Banyaknya cara: $(n-1)!$

Untuk $3$ anak: $P_3 = (3-1)! = 2! = 2 \times 1 = 2 \text{ cara}$.

Rumus $(n-1)!$ menyamakan rotasi, tetapi masih menganggap bayangan cermin sebagai susunan berbeda. Perhitungan ini sesuai untuk orang yang menghadap ke tengah meja karena pembalikan urutan menukar tetangga kiri dan kanan. Gelang juga dapat dibalik. Untuk $n\geq3$ manik-manik yang semuanya berbeda, setiap urutan melingkar berpasangan dengan bayangan cermin yang berbeda, sehingga gelang memiliki $\frac{(n-1)!}{2}$ susunan.

Menghitung Susunan Melingkar

Rumus yang sama menghitung susunan tempat duduk melingkar dan formasi lain yang mengelilingi satu titik pusat.

Tempat Duduk Melingkar:

Lima siswa akan duduk mengelilingi meja bundar untuk berdiskusi. Banyaknya cara mereka dapat duduk adalah:

Permainan Tradisional:

Delapan anak bermain dalam lingkaran. Banyaknya formasi berbeda yang dapat mereka bentuk adalah:

Situasi dengan Syarat Khusus:

Ketika ada syarat tambahan seperti objek tertentu harus berdampingan, kita menggunakan teknik pengelompokan:

Contoh: $4$ pasang suami istri duduk melingkar, setiap pasangan harus berdampingan.

Strategi penyelesaian:

1. Kelompokkan setiap pasangan sebagai satu unit → $4 \text{ unit}$
2. Susun unit-unit ini melingkar: $(4-1)! = 3! = 6 \text{ cara}$
3. Atur posisi dalam setiap pasangan: $2! \text{ cara}$ per pasangan
4. Total perhitungan: $3! \times (2!)^4 = 6 \times 2^4 = 6 \times 16 = 96 \text{ cara}$

Latihan

Ketiga soal berbeda pada satu syarat: lingkaran biasa, gelang yang menyamakan bayangan cermin, dan pasangan yang harus bersebelahan. Pilih rumus yang sesuai sebelum menghitung, karena satu syarat tambahan mengubah banyaknya susunan yang dihitung.

1. Terdapat $6$ teman yang akan duduk mengelilingi api unggun. Berapa banyak cara mereka dapat duduk?

2. Sebuah gelang akan dibuat dari $8$ manik-manik dengan warna berbeda. Jika rotasi dan bayangan cermin setelah gelang dibalik dianggap sama, berapa banyak susunan yang mungkin?

3. $5$ pasangan suami istri akan duduk mengelilingi meja bundar dengan syarat setiap suami harus duduk bersebelahan dengan istrinya. Berapa banyak cara duduk yang mungkin?

4. $7$ siswa akan bermain permainan melingkar, tetapi dua siswa tertentu tidak boleh duduk bersebelahan. Berapa banyak cara mereka dapat membentuk lingkaran?

Kunci Jawaban

1. Jawaban: $120 \text{ cara}$

   Langkah penyelesaian:

   • Diketahui: $n = 6 \text{ orang}$
   • Rumus permutasi siklis: $P_n = (n-1)!$
   • $P_6 = (6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

   Jadi, $6 \text{ orang}$ dapat duduk mengelilingi api unggun dengan $120$ susunan berbeda.

2. Jawaban: $2\,520 \text{ cara}$

   Langkah penyelesaian:

   • Pertama, anggap susunan yang hanya berbeda karena rotasi sebagai susunan yang sama: $P_8 = (8-1)! = 7!$
   • $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5\,040$
   • Membalik gelang membuat setiap urutan searah jarum jam sama dengan bayangan cerminnya yang berlawanan arah.
   • Karena semua manik berbeda, susunan tersebut berpasangan, sehingga hasilnya dibagi $2$.
   • $\frac{5\,040}{2} = 2\,520$

   Gelang dapat dibuat dalam $2\,520$ susunan berbeda.

3. Jawaban: $768 \text{ cara}$

   Langkah penyelesaian:

   • Diketahui: $5$ pasangan suami istri ($10 \text{ orang}$), setiap pasangan harus berdampingan
   • Teknik pengelompokan: Anggap setiap pasangan sebagai satu unit → $5 \text{ unit}$
   • Permutasi siklis $5 \text{ unit}$: $(5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
   • Setiap pasangan dapat bertukar posisi: $2! = 2 \text{ cara}$ per pasangan
   • Total: $24 \times 2^5 = 24 \times 32 = 768$

   Terdapat $768$ susunan tempat duduk yang memenuhi syarat.

4. Jawaban: $480 \text{ cara}$

   Langkah penyelesaian (metode komplemen):

   • Total cara tanpa syarat: $(7-1)! = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
   • Untuk menghitung cara yang tidak diinginkan, anggap $2 \text{ siswa}$ yang bersebelahan sebagai satu unit.
   • Sekarang ada $6$ unit yang disusun melingkar, sehingga banyak susunannya adalah $(6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
   • $2 \text{ siswa}$ di dalam unit itu dapat bertukar posisi, sehingga ada $2! = 2$ susunan internal.
   • Total cara bersebelahan: $120 \times 2 = 240$
   • Cara yang diinginkan: $720 - 240 = 480$

   Jadi, ada $480 \text{ cara}$ membentuk susunan melingkar dengan kedua siswa tidak bersebelahan.