Konsep Limit Fungsi

Nilai Fungsi saat Input Mendekati Sebuah Titik

Limit menggambarkan perilaku nilai keluaran ketika input mendekati suatu titik. Nilai fungsi tepat di titik tersebut tidak menentukan limit. Limit dua sisi tetap dapat ada meskipun nilai fungsinya tidak terdefinisi atau berbeda dari limit. Pada lompatan, bandingkan limit satu sisi dari kiri dan kanan. Di dekat asimtot tegak, limit tak hingga menggambarkan nilai fungsi yang membesar tanpa batas.

Kontinuitas, turunan, dan integral tentu semuanya didefinisikan dengan limit. Kita akan membaca pola nilai fungsi terlebih dahulu dari tabel, lalu menghubungkan pola tersebut dengan limit satu sisi dan definisi epsilon-delta yang tepat.

Pendekatan Melalui Tabel Nilai

Tabel berikut mencatat perubahan $f(x) = x + 2$ saat $x$ mendekati $3$ dari kedua sisi.

Saat $x$ mendekati $3$ dari kedua sisi, nilai $f(x)$ pada tabel mendekati $5$. Nilai yang didekati itu disebut limit.

Notasi Limit Satu Sisi dan Makna Formal

Notasi baku untuk limit adalah:

Notasi ini dibaca sebagai "limit $f(x)$ ketika $x$ mendekati $c$ sama dengan $L$".

Jika $c$ merupakan titik interior dan fungsi terdefinisi pada kedua sisi di sekitar $c$, limit dua sisi ada tepat ketika:

• Limit kiri dan limit kanan harus ada
• Limit kiri harus sama dengan limit kanan
• Nilai limit tersebut adalah $L$

Secara lebih formal, limit kiri dan kanan dapat ditulis sebagai:

Untuk limit kiri, $x$ mendekati $c$ dari kiri:

Untuk limit kanan, $x$ mendekati $c$ dari kanan:

Jika kedua limit ini sama, maka $\lim_{x \to c} f(x) = L$. Jika berbeda, limit dua sisi tidak ada. Pada ujung daerah asal, hanya limit satu sisi dari arah yang termasuk dalam daerah asal yang relevan.

Definisi epsilon-delta berikut memberi makna matematis yang tepat pada kata "mendekati":

Artinya, untuk setiap toleransi keluaran $\varepsilon>0$ sekecil apa pun, kita dapat memilih toleransi masukan $\delta>0$ sehingga $f(x)$ berjarak kurang dari $\varepsilon$ terhadap $L$ ketika $x$ berjarak kurang dari $\delta$ terhadap $c$, tetapi tidak sama dengannya. Syarat $0<|x-c|$ menjelaskan mengapa nilai $f(c)$ tidak menentukan limit dengan sendirinya.

Penerapan Limit

Limit menjawab pertanyaan tentang perilaku suatu besaran di dekat sebuah titik. Nilai limit dapat berbeda dari nilai fungsi di titik itu, dan kedua contoh menunjukkan satu kasus yang selesai dengan substitusi serta satu kasus yang harus disederhanakan lebih dulu.

Menghitung Limit dengan Substitusi Langsung

Tentukan $\lim_{x \to 4} (2x - 1)$.

Penyelesaian:

Karena fungsi $f(x) = 2x - 1$ kontinu di $x = 4$, substitusikan $x=4$ secara langsung:

Menyederhanakan Bentuk Tak Tentu Sebelum Menghitung Limit

Tentukan $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Penyelesaian:

Jika kita substitusi langsung $x = 2$, kita mendapat bentuk $\frac{0}{0}$ yang tak tentu. Kita perlu menyederhanakan terlebih dahulu dengan memfaktorkan:

Karena limit memakai nilai di sekitar titik dengan $x \neq 2$, kita dapat membatalkan $(x - 2)$ sebelum menilai bentuk yang telah disederhanakan:

Sifat Dasar Limit

Setiap sifat memindahkan operasi limit ke bagian-bagian terpisah dari suatu bentuk. Sifat linearitas berlaku untuk penjumlahan dan kelipatan konstanta, sifat perkalian untuk hasil kali, sedangkan sifat pembagian hanya berlaku selama limit penyebutnya tidak nol.

1. Sifat Linearitas:

   $\lim_{x \to c} [af(x) + bg(x)] = a\lim_{x \to c} f(x) + b\lim_{x \to c} g(x)$

2. Sifat Perkalian:

   $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)$

3. Sifat Pembagian:

   $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}$ dengan syarat $\lim_{x \to c} g(x) \neq 0$

Latihan

Empat soal berikut mencakup substitusi langsung, pemfaktoran, limit trigonometri dasar, dan fungsi sepotong. Kerjakan setiap soal di kertas terlebih dahulu sebelum membuka pembahasan, lalu bandingkan langkahmu dengan langkah di bawah.

1. Tentukan $\lim_{x \to 3} (x^2 + 2x - 1)$

2. Tentukan $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

3. Tentukan $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ (gunakan teorema limit trigonometri)

4. Fungsi $f$ didefinisikan sebagai berikut:

   $$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2 \\ 3x - 2, & x \geq 2 \end{cases}$$

   Tentukan $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Pembahasan

1. Penyelesaian:

   Karena fungsi polinomial kontinu di semua titik, kita dapat substitusi langsung:

   $$\begin{aligned} &\lim_{x \to 3} (x^2 + 2x - 1) \\ &= 3^2 + 2(3) - 1 \\ &= 9 + 6 - 1 \\ &= 14 \end{aligned}$$

2. Penyelesaian:

   Substitusi langsung menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$. Kita faktorkan terlebih dahulu:

   $$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$$

   $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}$$

   Karena limit memakai nilai di sekitar titik dengan $x \neq 1$, kita dapat membatalkan $(x - 1)$ sebelum menilai bentuk yang telah disederhanakan:

   $$= \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$$

3. Penyelesaian:

   Limit fundamental trigonometri ini digunakan untuk menurunkan rumus turunan sinus dan kosinus. Substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, sehingga kita memakai teorema limit trigonometri:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

   Catatan: Ukur $x$ dalam radian. Derajat memberi hasil yang berbeda.

4. Penyelesaian:

   Untuk fungsi piecewise (terdefinisi dengan aturan berbeda), kita harus memeriksa limit kiri dan kanan secara terpisah:

   Limit kiri (ketika $x$ mendekati $2$ dari kiri, maka $x < 2$):

   $$\begin{aligned} \lim_{x \to 2^-} f(x) &= \lim_{x \to 2^-} (x + 1) \\ &= 2 + 1 \\ &= 3 \end{aligned}$$

   Limit kanan (ketika $x$ mendekati $2$ dari kanan, sehingga input di sekitarnya memenuhi $x > 2$):

   $$\begin{aligned} \lim_{x \to 2^+} f(x) &= \lim_{x \to 2^+} (3x - 2) \\ &= 3(2) - 2 \\ &= 6 - 2 \\ &= 4 \end{aligned}$$

   Karena $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3 \neq 4 = \lim_{x \to 2^+} f(x)$, maka $\lim_{x \to 2} f(x)$ tidak ada.