Limit Fungsi Trigonometri

Memeriksa Hasil Substitusi pada Fungsi Trigonometri

Limit trigonometri mengajukan pertanyaan lokal yang sama dengan limit aljabar: nilai apa yang didekati suatu bentuk di sekitar input tertentu? Sinus dan cosinus kontinu pada setiap bilangan real, sedangkan tangen kontinu ketika cosinus tidak nol. Jadi, substitusi langsung tetap berlaku jika bentuk yang dihasilkan terdefinisi.

Langkah khusus diperlukan ketika substitusi menghasilkan bentuk tak tentu seperti $\frac{0}{0}$. Di sekitar nol, gunakan limit sinus dasar dan identitas trigonometri untuk mengubah ekspresi menjadi bentuk yang limitnya dapat dihitung.

Limit Sinus di Nol

Ketika sudut dalam radian mendekati nol, perbandingan sinus sudut dengan sudut itu sendiri mendekati satu. Satuan radian itulah yang membuat nilainya tepat satu, dan satu fakta itu menentukan nilai setiap perbandingan yang dibangun dari sinus dan kosinus.

Limit Sinus Dasar

Limitnya adalah:

Ekspresinya tidak terdefinisi pada $x=0$, sehingga substitusi langsung tidak membuktikan nilai limit. Bukti geometrinya menggunakan lingkaran satuan dan teorema apit.

Dalam teorema ini, ukur $x$ dalam radian. Penggunaan derajat akan memberi hasil yang berbeda.

Konsekuensi dari Limit Dasar

Gunakan limit tersebut untuk menurunkan hasil berikut:

Karena $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ dan $\cos x\to1$:

Gunakan identitas $1-\cos x=2\sin^2\frac x2$:

Gunakan identitas $1-\cos x=2\sin^2\frac x2$:

Identitas tersebut langsung menghasilkan kedua limit cosinus tanpa memakai aturan turunan yang baru dipelajari pada tahap berikutnya:

Sifat Limit Trigonometri

Limit dasar itu menentukan beberapa perbandingan terkait, karena faktor konstan pada sudutnya dapat dikeluarkan dari limit dan kebalikannya berperilaku sama. Dengan begitu, setiap bentuk sinus berpangkat sudut berlipat dapat dikembalikan ke limit dasarnya.

Perbandingan Trigonometri

Untuk konstanta real $a$ dan $b \neq 0$, semua limit berikut diambil ketika $x \to 0$:

Kombinasi Trigonometri

Dari sifat perbandingan trigonometri, kita dapat menurunkan beberapa sifat kombinasi trigonometri:

Teknik Penyelesaian Limit Trigonometri

Sebagian limit trigonometri selesai dengan substitusi, sebagian lagi memerlukan identitas atau limit yang sudah dikenal. Bentuk ekspresinya sendiri menunjukkan kasus mana yang berlaku, karena jumlah atau selisih di dalam argumen trigonometrinya menandakan identitas yang diperlukan.

Teknik Substitusi dan Manipulasi

Untuk menghitung limit trigonometri yang belum dapat disubstitusikan langsung, ubah ekspresinya hingga memuat bentuk limit sinus di nol.

Hitung: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$

Kita manipulasi agar memperoleh bentuk standar:

Teknik Identitas Trigonometri

Sering kali kita perlu menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan ekspresi. Selalu pastikan fungsi terdefinisi di titik yang didekati.

Hitung: $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x}$

Karena $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$, penyebut tidak nol di $x = \frac{\pi}{4}$.

Substitusi langsung:

Teknik untuk Bentuk Khusus

Untuk limit yang melibatkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita perlu teknik khusus.

Hitung: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2(x - \frac{\pi}{2})}{x(x - \frac{\pi}{2})}$

Misalkan $u = x - \frac{\pi}{2}$, maka ketika $x \to \frac{\pi}{2}$, kita punya $u \to 0$ dan $x = u + \frac{\pi}{2}$.

Limit Trigonometri dengan Identitas Sudut

Rumus jumlah atau selisih mengubah bentuk menjadi limit yang sudah dikenal. Menguraikan jumlah atau selisihnya menghasilkan suku sinus dan kosinus tersendiri, dan setiap suku kembali ke limit dasarnya.

Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih

Ketika berhadapan dengan fungsi trigonometri yang melibatkan jumlah atau selisih sudut, kita dapat menggunakan identitas trigonometri.

Hitung: $\lim_{t \to 0} \frac{\cot 5t}{\cot 10t}$

Menggunakan definisi cotangen:

Latihan

Setiap soal meminta limit trigonometri. Tentukan apakah substitusi cukup atau identitas diperlukan sebelum menghitung. Tuliskan limit yang kamu pakai pada setiap langkah, lalu periksa hasilnya terhadap limit dasar setiap kali sudutnya diskalakan.

1. Hitung $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x}$

2. Hitung $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x}$

3. Hitung $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2}$

4. Hitung $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{6}}$

5. Hitung $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{x}$

Pembahasan

1. Penyelesaian:

   Gunakan manipulasi aljabar untuk memperoleh bentuk standar:

   $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x} &= \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin 3x}{3 \cdot 4x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{3}{4} \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \end{aligned}$$

   $$= \frac{3}{4} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}$$

2. Penyelesaian:

   Gunakan sifat perbandingan trigonometri:

   $$\begin{aligned} &\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x} \end{aligned}$$

   $$= \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2}{5}$$

   $$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$$

3. Penyelesaian:

   Gunakan identitas $1 - \cos ax = 2\sin^2\frac{ax}{2}$:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{3x}{2}}{x^2}$$

   $$= \lim_{x \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2$$

   $$= 2 \cdot 1^2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$$

4. Penyelesaian:

   Misalkan $h = x - \frac{\pi}{6}$, maka $x = h + \frac{\pi}{6}$ dan ketika $x \to \frac{\pi}{6}$, kita punya $h \to 0$:

   $$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h + \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2}}{h}$$

   $$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin h \cos\frac{\pi}{6} + \cos h \sin\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}}{h}$$

   $$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin h \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos h \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{h}$$

   $$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin h + \frac{1}{2}(\cos h - 1)}{h}$$

   $$= \frac{\sqrt{3}}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} + \frac{1}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}$$

   $$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

5. Penyelesaian:

   Gunakan identitas $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}\sin 2x}{x}$$

   $$= \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x}{2x}$$

   $$= \frac{1}{2} \cdot 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1 \cdot 1 = 1$$