Lingkaran dan Busur Lingkaran

Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang datar yang berjarak tetap dari satu titik. Titik itu disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak tetapnya disebut jari-jari.

Jika pusatnya $O(a,b)$ dan jari-jarinya $r$, rumus jarak menghasilkan persamaan baku:

Unsur Lingkaran

Diagram berikut menghubungkan definisi tersebut dengan unsur-unsur yang dipakai dalam perhitungan:

Empat unsur yang perlu dikenali terlebih dahulu:

• Pusat ($O$): titik tetap yang menjadi acuan setiap jari-jari
• Jari-jari ($r$): ruas garis dari pusat ke satu titik pada lingkaran
• Diameter ($d$): tali busur yang melalui pusat, sehingga $d = 2r$
• Tali busur: ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran

Busur Lingkaran

Busur lingkaran adalah bagian dari keliling lingkaran yang dibatasi oleh dua titik pada lingkaran. Busur dilambangkan dengan simbol lengkung di atas huruf, misalnya $\overset{\frown}{AB}$. Panjang busur ditentukan oleh besar sudut pusat, bukan oleh panjang tali busur.

Berbagai Jenis Busur

Pengelompokan busur berdasarkan panjangnya:

• Busur minor: lebih pendek daripada setengah keliling lingkaran
• Busur mayor: lebih panjang daripada setengah keliling lingkaran
• Setengah lingkaran: panjangnya tepat setengah keliling lingkaran

Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut pusat berpangkal di titik pusat lingkaran, sedangkan sudut keliling berpangkal pada lingkaran. Keduanya menghadap busur yang sama, dan satu perbandingan tetap menghubungkan kedua besarnya.

Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran dan kaki-kaki sudutnya adalah jari-jari lingkaran.

Fakta utama tentang sudut pusat:

• Sudut pusat dan busur yang dihadapinya memiliki ukuran sudut yang sama.
• Jadi, jika sudut pusat besarnya $\alpha$, ukuran sudut busurnya juga $\alpha$.

Sudut Keliling

Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya berada pada lingkaran dan kaki-kaki sudutnya adalah tali busur.

Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besar sudut keliling adalah setengah dari besar sudut pusat.

Contoh penerapan:

Panjang Busur dan Luas Juring

Busur dan juring mengambil bagian yang sama dari seluruh lingkaran. Bagian tersebut adalah perbandingan sudut pusat terhadap $360^\circ$, sehingga satu perbandingan yang sama menentukan panjang busur dan luas juring.

Panjang Busur

Panjang busur mengambil bagian keliling yang sama dengan bagian satu putaran yang ditempuh sudut pusatnya. Untuk sudut pusat $\alpha$ derajat:

Keterangan:

• $l$ = panjang busur
• $\alpha$ = besar sudut pusat (dalam derajat)
• $r$ = jari-jari lingkaran

Luas Juring

Juring adalah daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur di antaranya. Bagian luasnya sama dengan bagian satu putaran yang ditempuh sudut pusatnya.

Diagram berikut menunjukkan dua jari-jari, busur yang dihadapinya, dan juring yang dibatasi ketiganya.

Menghitung Panjang Busur dan Luas Juring

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $14 \text{ cm}$. Jika sudut pusat yang menghadap suatu busur adalah $90^\circ$, tentukan:

1. Panjang busur
2. Luas juring

Penyelesaian:

Diketahui: $r = 14 \text{ cm}$, $\alpha = 90^\circ$

1. Panjang busur:

   $$l = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r$$

   $$l = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 14$$

   $$l = \frac{1}{4} \times 28\pi$$

   $$l = 7\pi \text{ cm} \approx 21{,}99 \text{ cm}$$

2. Luas juring:

   $$L = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2$$

   $$L = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 14^2$$

   $$L = \frac{1}{4} \times 196\pi$$

   $$L = 49\pi \text{ cm}^2 \approx 153{,}94 \text{ cm}^2$$

Latihan Soal

Soal-soal ini menggabungkan sudut pusat, sudut keliling, dan ukuran busur. Tentukan hubungan yang dipakai sebelum memasukkan angkanya.

1. Sebuah lingkaran memiliki diameter $20 \text{ cm}$. Jika sudut keliling yang menghadap suatu busur adalah $30^\circ$, tentukan besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama!

2. Pada lingkaran dengan pusat $O$ dan jari-jari $21 \text{ cm}$, terdapat busur $AB$ dengan sudut pusat $120^\circ$. Hitunglah:

   • Panjang busur $AB$
   • Luas juring $AOB$

3. Dua buah sudut keliling menghadap busur yang sama. Jika salah satu sudut keliling besarnya $45^\circ$, tentukan besar sudut keliling yang lain!

Pembahasan

1. Diameter tidak diperlukan untuk menjawab soal ini. Informasi yang menentukan adalah kedua sudut menghadap busur yang sama. Sudut pusat besarnya dua kali sudut keliling:

   $$\begin{aligned} \text{sudut pusat} &=2(30^\circ) \\ &=60^\circ \end{aligned}$$

   Jadi, besar sudut pusat adalah $60^\circ$.

2. Sudut $120^\circ$ mencakup sepertiga putaran penuh karena $\frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{3}$. Terapkan pecahan itu pada keliling, lalu pada luas lingkaran.

   $$\begin{aligned} l &=\frac{120^\circ}{360^\circ}(2\pi)(21) \\ &=14\pi\text{ cm} \\ &\approx43{,}98\text{ cm} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} L &=\frac{120^\circ}{360^\circ}\pi(21)^2 \\ &=147\pi\text{ cm}^2 \\ &\approx461{,}81\text{ cm}^2 \end{aligned}$$

   Jadi, panjang busurnya $14\pi\text{ cm}$ dan luas juringnya $147\pi\text{ cm}^2$.

3. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama. Karena sudut pertama $45^\circ$, sudut kedua juga $45^\circ$.