Lingkaran dan Tali Busur

Ruas Garis yang Menghubungkan Dua Titik pada Lingkaran

Tali busur adalah ruas garis yang kedua ujungnya terletak pada lingkaran. Diameter merupakan tali busur khusus yang melewati pusat. Tali busur lain tidak harus melewati pusat.

Tali busur $AB$ dan $CD$ menghadap sudut pusat yang sama, sehingga panjangnya sama. Tali busur $EF$ menghadap sudut pusat yang lebih besar dan lebih panjang.

Hubungan Panjang Tali Busur dan Jaraknya dari Pusat

Panjang tali busur dan jaraknya dari titik pusat saling menentukan. Jarak yang lebih kecil menghasilkan tali busur yang lebih panjang, dan kedua besaran itu dapat diubah dengan teorema Pythagoras.

Tali Busur Sama Panjang

Dua tali busur yang sama panjang memiliki jarak yang sama dari pusat lingkaran. Sebaliknya, dua tali busur yang berjarak sama dari pusat memiliki panjang yang sama.

Jika $PQ = RS$, maka jarak dari pusat $O$ ke tali busur $PQ$ sama dengan jarak dari $O$ ke tali busur $RS$, yaitu $d_1 = d_2$.

Garis dari Pusat Tegak Lurus Tali Busur

Garis yang ditarik dari pusat lingkaran tegak lurus terhadap tali busur akan membagi tali busur tersebut menjadi dua bagian yang sama panjang.

Pada diagram di atas, $OM \perp AB$ dan $M$ adalah titik tengah tali busur $AB$, sehingga $AM = MB$.

Panjang Tali Busur

Tali busur dan sudut pusatnya membentuk segitiga sama kaki dari dua jari-jari. Rumus berikut berasal dari membagi segitiga itu menjadi dua. Dari segitiga separuh itu, setengah panjang tali busur sama dengan $r\sin(\theta/2)$.

Rumus Panjang Tali Busur

Keterangan:

• $r$ = jari-jari lingkaran
• $\theta$ = sudut pusat terkecil yang menghadap tali busur. Gunakan mode kalkulator yang sesuai dengan satuan sudut

Ketika sudut pusat terkecil $\theta$ bertambah dari $0$ sampai $180^\circ$, nilai $\sin(\theta/2)$ bertambah dari $0$ sampai $1$. Panjang tali busur pun bertambah dari $0$ sampai sebesar diameter $2r$.

Jarak Tali Busur dari Pusat

Jarak tali busur dari pusat lingkaran dapat dihitung dengan rumus:

Atau jika diketahui panjang tali busur $l$:

Teorema Perpotongan Tali Busur

Jika dua tali busur berpotongan di dalam lingkaran, maka hasil kali segmen-segmen dari satu tali busur sama dengan hasil kali segmen-segmen dari tali busur lainnya.

Pada diagram di atas berlaku: $PA \times PB = PC \times PD$

Sudut Keliling dalam Segmen yang Sama

Sudut-sudut keliling yang menghadap tali busur yang sama memiliki besar yang sama jika titik sudutnya berada pada sisi yang sama terhadap tali busur tersebut.

Pada diagram di atas, $\angle ACB = \angle ADB$ karena kedua titik sudut berada pada sisi yang sama terhadap tali busur $AB$ dan kedua sudut menghadap tali busur tersebut.

Apotema

Apotema tali busur adalah ruas garis yang ditarik tegak lurus dari pusat lingkaran ke tali busur. Panjangnya merupakan jarak terpendek antara pusat dan tali busur.

Panjang apotema dapat dihitung dengan rumus:

Keterangan:

• $a$ = panjang apotema
• $r$ = jari-jari lingkaran
• $l$ = panjang tali busur
• $\theta$ = sudut pusat

Tali Busur Sejajar

Dua tali busur yang sejajar dalam lingkaran memiliki sifat khusus.

Jika $AB \parallel CD$, maka busur $AC$ sama panjang dengan busur $BD$.

Latihan Soal

Setiap soal memberi satu ukuran tali busur dan meminta ukuran lain. Tentukan hubungan yang berlaku, lalu hitung nilai yang belum diketahui.

1. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari $10 \text{ cm}$. Jika sudut pusat yang menghadap tali busur adalah $60^\circ$, tentukan:

   • Panjang tali busur
   • Jarak tali busur dari pusat lingkaran

2. Dua tali busur $AB$ dan $CD$ berpotongan di titik $P$ di dalam lingkaran. Jika $PA = 4 \text{ cm}$, $PB = 6 \text{ cm}$, dan $PC = 3 \text{ cm}$, tentukan panjang $PD$.

3. Dalam lingkaran berjari-jari $13 \text{ cm}$, terdapat tali busur sepanjang $24 \text{ cm}$. Hitunglah jarak tali busur tersebut dari pusat lingkaran.

4. Dua tali busur sejajar dalam lingkaran masing-masing berjarak $3 \text{ cm}$ dan $4 \text{ cm}$ dari pusat lingkaran. Jika jari-jari lingkaran $5 \text{ cm}$, tentukan panjang kedua tali busur tersebut.

5. Buktikan bahwa tali busur terpanjang dalam lingkaran adalah diameter.

Pembahasan

1. Menghitung panjang tali busur dan jaraknya dari pusat

   Diketahui: $r = 10 \text{ cm}$, $\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ rad

   $$\begin{aligned} l &= 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \\ &= 2 \times 10 \times \sin\left(\frac{\pi/3}{2}\right) \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} l &= 20 \times \sin(30^\circ) \\ &= 20 \times 0{,}5 \\ &= 10 \text{ cm} \end{aligned}$$

   $$d = r \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 10 \times \cos(30^\circ)$$

   $$d = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm}$$

2. Teorema perpotongan tali busur

   Diketahui: $PA = 4 \text{ cm}$, $PB = 6 \text{ cm}$, $PC = 3 \text{ cm}$

   $$PA \times PB = PC \times PD$$

   $$4 \times 6 = 3 \times PD$$

   $$24 = 3 \times PD$$

   $$PD = 8 \text{ cm}$$

3. Menghitung jarak tali busur dari pusat

   Diketahui: $r = 13 \text{ cm}$, $l = 24 \text{ cm}$

   $$d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}$$

   $$d = \sqrt{13^2 - 12^2}$$

   $$d = \sqrt{169 - 144}$$

   $$d = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$$

4. Tali busur sejajar

   Diketahui: $r = 5 \text{ cm}$, $d_1 = 3 \text{ cm}$, $d_2 = 4 \text{ cm}$

   Untuk tali busur pertama:

   $$\begin{aligned} l_1 &= 2\sqrt{r^2 - d_1^2} \\ &= 2\sqrt{25 - 9} \\ &= 2\sqrt{16} \\ &= 8 \text{ cm} \end{aligned}$$

   Untuk tali busur kedua:

   $$\begin{aligned} l_2 &= 2\sqrt{r^2 - d_2^2} \\ &= 2\sqrt{25 - 16} \\ &= 2\sqrt{9} \\ &= 6 \text{ cm} \end{aligned}$$

5. Bukti diameter adalah tali busur terpanjang

   Untuk sebarang tali busur, ambil $\theta$ sebagai sudut pusat yang lebih kecil, sehingga $0^\circ\leq\theta\leq180^\circ$:

   $$l = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

   Nilai maksimum $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1$ tercapai ketika $\frac{\theta}{2} = 90^\circ$, yaitu $\theta = 180^\circ$.

   Saat $\theta = 180^\circ$, tali busur melewati pusat lingkaran (diameter) dengan panjang:

   $$l_{\max} = 2r \times 1 = 2r$$

   Terbukti bahwa diameter adalah tali busur terpanjang.