Sifat Sudut dalam Lingkaran

Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama jika titik sudutnya berada pada busur sisanya yang sama, atau dengan kata lain dalam segmen lingkaran yang sama.

Sifat: $\angle ACB = \angle ADB$

Kedua titik $C$ dan $D$ berada pada sisi yang sama terhadap tali busur $AB$. Karena itu, $\angle ACB$ dan $\angle ADB$ menghadap busur yang sama dari segmen yang sama dan memiliki besar yang sama.

Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut pusat besarnya dua kali sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

Sifat: $\angle AOB = 2 \times \angle ACB$

Sudut Keliling yang Menghadap Diameter

Setiap sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran selalu merupakan sudut siku-siku ($90^\circ$).

Sifat: Jika $AB$ adalah diameter, maka $\angle ACB = \angle ADB = 90^\circ$

Ini dikenal sebagai Teorema Thales.

Sudut dalam Segiempat Tali Busur

Segiempat tali busur adalah segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran. Jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah $180^\circ$.

Sifat: $\alpha + \gamma = 180^\circ$ dan $\beta + \delta = 180^\circ$

Sudut Luar Sama dengan Sudut Dalam Berseberangan

Pada segiempat tali busur, sudut luar di suatu titik sama dengan sudut dalam di titik yang berseberangan.

Sifat: $\angle DAE = \angle BCD$ (sudut luar di $A$ sama dengan sudut dalam di $C$)

Menghitung Sudut dengan Teorema Lingkaran

Setiap contoh memakai satu teorema lingkaran pada situasi yang sudah diberi label. Tentukan sudut dan busur yang dihubungkan teorema itu sebelum menghitung. Tuliskan hubungannya sebelum memasukkan angka, karena hubungan itu menunjukkan besaran yang dicari.

Menentukan Besar Sudut

Pada lingkaran dengan pusat $O$, diketahui sudut pusat $\angle AOB = 100^\circ$. Tentukan besar sudut keliling $\angle ACB$!

Penyelesaian:

Menggunakan sifat sudut pusat dan sudut keliling:

Mencari Sudut Berhadapan

Dalam segiempat tali busur $ABCD$, diketahui $\angle A = 75^\circ$. Tentukan besar $\angle C$!

Penyelesaian:

Menggunakan sifat segiempat tali busur:

Menggunakan Teorema Thales

Titik $C$ terletak pada lingkaran dengan $AB$ sebagai diameter. Tentukan besar $\angle ACB$!

Penyelesaian:

Karena $AB$ adalah diameter dan $C$ terletak pada lingkaran, maka berdasarkan Teorema Thales:

Latihan Soal

1. Pada lingkaran dengan pusat $O$, sudut pusat $\angle AOB = 140^\circ$ menghadap busur minor $AB$. Titik $C$ dan $D$ berada pada busur mayor $AB$. Tentukan:

   • Besar sudut $\angle ACB$
   • Besar sudut $\angle ADB$

2. Dalam segiempat tali busur $PQRS$, diketahui:

   $$\angle P = 85^\circ$$

   $$\angle Q = 110^\circ$$

   Tentukan besar $\angle R$ dan $\angle S$!

3. Titik $A$, $B$, dan $C$ terletak pada lingkaran. Jika $AB$ adalah diameter dan $BC = AC$, tentukan besar $\angle BAC$!

4. Pada lingkaran, sudut keliling $\angle APB = 35^\circ$. Tentukan besar sudut pusat $\angle AOB$!

5. Dalam segiempat tali busur $KLMN$, sudut luar di titik $K$ adalah $65^\circ$. Tentukan besar sudut dalam di titik $M$!

Pembahasan

1. Menentukan sudut keliling yang menghadap busur yang sama

   Visualisasi

   Sudut pusat $\angle AOB = 140^\circ$ dan sudut-sudut keliling menghadap busur $AB$ yang sama.

   KisiRotasi otomatis

   Penyelesaian:

   Menggunakan sifat hubungan sudut pusat dan sudut keliling:

   $$\text{Sudut keliling} = \frac{1}{2} \times \text{Sudut pusat}$$

   $$\angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB$$

   $$\angle ACB = \frac{1}{2} \times 140^\circ$$

   $$\angle ACB = 70^\circ$$

   Karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama:

   $$\angle ADB = \angle ACB = 70^\circ$$

2. Menentukan sudut-sudut dalam segiempat tali busur

   Penyelesaian:

   Dalam segiempat tali busur, jumlah sudut yang berhadapan adalah $180^\circ$.

   Untuk sudut $R$ (berhadapan dengan $P$):

   $$\angle P + \angle R = 180^\circ$$

   $$85^\circ + \angle R = 180^\circ$$

   $$\angle R = 180^\circ - 85^\circ$$

   $$\angle R = 95^\circ$$

   Untuk sudut $S$ (berhadapan dengan $Q$):

   $$\angle Q + \angle S = 180^\circ$$

   $$110^\circ + \angle S = 180^\circ$$

   $$\angle S = 180^\circ - 110^\circ$$

   $$\angle S = 70^\circ$$

3. Menentukan sudut dalam segitiga sama kaki dengan diameter

   Visualisasi

   $AB$ adalah diameter, $BC = AC$ (segitiga sama kaki).

   KisiRotasi otomatis

   Penyelesaian:

   Karena $AB$ adalah diameter, maka berdasarkan Teorema Thales:

   $$\angle ACB = 90^\circ$$

   Karena $BC = AC$, maka segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku sama kaki.

   Dalam segitiga siku-siku sama kaki, kedua sudut alasnya sama besar:

   $$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$$

   $$\angle BAC + \angle ABC + 90^\circ = 180^\circ$$

   $$\angle BAC + \angle ABC = 90^\circ$$

   Karena $\angle BAC = \angle ABC$ (sudut alas segitiga sama kaki):

   $$2 \times \angle BAC = 90^\circ$$

   $$\angle BAC = 45^\circ$$

4. Menentukan sudut pusat dari sudut keliling

   Penyelesaian:

   Menggunakan hubungan sudut pusat dan sudut keliling:

   $$\text{Sudut pusat} = 2 \times \text{Sudut keliling}$$

   $$\angle AOB = 2 \times \angle APB$$

   $$\angle AOB = 2 \times 35^\circ$$

   $$\angle AOB = 70^\circ$$

5. Menentukan sudut dalam dari sudut luar segiempat tali busur

   Penyelesaian:

   Dalam segiempat tali busur, sudut luar di suatu titik sama dengan sudut dalam di titik yang berseberangan.

   Jika sudut luar di $K$ adalah $65^\circ$, maka:

   $$\angle M = 65^\circ$$

   Ini karena titik $K$ dan $M$ berseberangan dalam segiempat tali busur $KLMN$.