Garis Singgung Persekutuan Luar dan Dalam

Pengertian Garis Singgung Persekutuan

Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua lingkaran sekaligus. Terdapat dua jenis garis singgung persekutuan:

1. Garis Singgung Persekutuan Luar: Garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang sama
2. Garis Singgung Persekutuan Dalam: Garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang berlawanan

Konsep Garis Singgung Persekutuan Luar

Garis singgung persekutuan luar menyinggung kedua lingkaran tanpa memotong ruas garis di antara kedua pusatnya.

Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar

Untuk dua lingkaran dengan:

• Pusat lingkaran pertama: $O_1$
• Pusat lingkaran kedua: $O_2$
• Jari-jari lingkaran pertama: $r_1$
• Jari-jari lingkaran kedua: $r_2$
• Jarak antara pusat: $d$

Panjang garis singgung persekutuan luar:

Ruas dengan panjang positif ini ada jika $d > |r_2-r_1|$. Pada keadaan sama dengan, kedua lingkaran bersinggungan dalam dan hanya memiliki garis singgung yang melalui titik singgungnya.

Mencari Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar

Dua lingkaran masing-masing berpusat di $A(-3, 0)$ dengan jari-jari $1{,}5$ dan $B(3, 0)$ dengan jari-jari $2{,}5$. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar!

Penyelesaian:

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar adalah $\sqrt{35} \text{ satuan}$.

Konsep Garis Singgung Persekutuan Dalam

Garis singgung persekutuan dalam adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang berlawanan dan memotong garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran.

Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

Syarat: Ruas garis singgung persekutuan dalam memiliki panjang positif jika $d > r_1 + r_2$. Saat keduanya sama, kedua lingkaran bersinggungan luar: kedua titik singgung berimpit, panjang ruasnya nol, dan hanya tersisa satu garis singgung persekutuan dalam.

Mencari Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

Dua lingkaran masing-masing berpusat di $P(-5, 0)$ dengan jari-jari $2$ dan $Q(5, 0)$ dengan jari-jari $3$. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam!

Penyelesaian:

Pertama, periksa apakah garis singgung persekutuan dalam ada:

Karena syarat terpenuhi, maka:

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam adalah $5\sqrt{3} \text{ satuan}$.

Lingkaran dengan Radius Sama

Ketika dua lingkaran memiliki jari-jari yang sama ($r_1 = r_2 = r$), kedua garis singgung persekutuannya menjadi lebih sederhana. Garis singgung persekutuan luar sejajar dengan garis yang menghubungkan kedua pusat, sedangkan garis singgung persekutuan dalam tegak lurus terhadap garis itu dan melewatinya di titik tengah.

Garis Singgung Persekutuan Luar

Untuk $r_1 = r_2$:

• Garis singgung persekutuan luar sejajar dengan garis yang menghubungkan kedua pusat
• Panjang garis singgung persekutuan luar adalah $d$ (jarak antara pusat)

Kasus Berbagai Posisi Lingkaran

Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dan dalam untuk lingkaran-lingkaran berikut. Catat dulu jarak kedua pusat dan kedua jari-jarinya: garis singgung luar memakai $l = \sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2}$, garis singgung dalam memakai $l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}$.

Lingkaran Berjauhan

Lingkaran pertama berpusat di $(-6, 0)$ dengan jari-jari $1$, lingkaran kedua berpusat di $(6, 0)$ dengan jari-jari $2$.

Penyelesaian:

Lingkaran Berdekatan

Lingkaran pertama berpusat di $(-2, 0)$ dengan jari-jari $1{,}5$, lingkaran kedua berpusat di $(2, 0)$ dengan jari-jari $1{,}5$.

Penyelesaian:

Latihan Soal

Soal-soal ini memberi dua lingkaran dan meminta panjang garis singgung persekutuan kedua lingkaran itu. Pisahkan kasus luar dan kasus dalam sebelum memakai rumus panjang yang sesuai.

1. Dua lingkaran masing-masing berpusat di $A(-4, 0)$ dengan jari-jari $2$ dan $B(4, 0)$ dengan jari-jari $3$. Tentukan:

   • Panjang garis singgung persekutuan luar
   • Panjang garis singgung persekutuan dalam

2. Lingkaran pertama memiliki pusat $(0, 0)$ dengan jari-jari $4$, lingkaran kedua memiliki pusat $(10, 0)$ dengan jari-jari $2$. Hitunglah panjang kedua jenis garis singgung persekutuan!

3. Dua lingkaran identik masing-masing berjari-jari $3 \text{ cm}$. Jika panjang garis singgung persekutuan dalam adalah $8 \text{ cm}$, tentukan jarak antara kedua pusat lingkaran!

4. Lingkaran $A$ berpusat di $(-5, 0)$ dengan jari-jari $r$, dan lingkaran $B$ berpusat di $(7, 0)$ dengan jari-jari $2r$. Jika panjang garis singgung persekutuan luar adalah $4\sqrt{8}$, tentukan nilai $r$!

5. Tentukan syarat agar dua lingkaran memiliki:

   • Tepat dua garis singgung persekutuan
   • Tepat tiga garis singgung persekutuan
   • Tepat empat garis singgung persekutuan

Pembahasan

1. Menghitung panjang garis singgung persekutuan

   $$d = \sqrt{(4-(-4))^2 + (0-0)^2} = 8$$

   $$\begin{aligned} l_{\mathrm{ext}} &= \sqrt{8^2 - (3-2)^2} \\ &= \sqrt{64 - 1} \\ &= \sqrt{63} \\ &= 3\sqrt{7} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} l_{\mathrm{int}} &= \sqrt{8^2 - (2+3)^2} \\ &= \sqrt{64 - 25} \\ &= \sqrt{39} \end{aligned}$$

2. Lingkaran dengan pusat berbeda

   $$d = \sqrt{(10-0)^2 + (0-0)^2} = 10$$

   $$\begin{aligned} l_{\mathrm{ext}} &= \sqrt{10^2 - (4-2)^2} \\ &= \sqrt{100 - 4} \\ &= \sqrt{96} \\ &= 4\sqrt{6} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} l_{\mathrm{int}} &= \sqrt{10^2 - (4+2)^2} \\ &= \sqrt{100 - 36} \\ &= \sqrt{64} \\ &= 8 \end{aligned}$$

3. Mencari jarak pusat dari panjang garis singgung dalam

   Diketahui: $r_1 = r_2 = 3$, $l_{\mathrm{int}} = 8$

   $$l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}$$

   $$8 = \sqrt{d^2 - 6^2}$$

   $$64 = d^2 - 36$$

   $$d^2 = 100$$

   $$d = 10 \text{ cm}$$

4. Mencari nilai $r$

   Diketahui: $d = 12$, $r_1 = r$, $r_2 = 2r$, $l_{\mathrm{ext}} = 4\sqrt{8}$

   $$4\sqrt{8} = \sqrt{12^2 - (2r - r)^2}$$

   $$16 \cdot 8 = 144 - r^2$$

   $$128 = 144 - r^2$$

   $$r^2 = 16$$

   $$r = 4$$

5. Syarat jumlah garis singgung persekutuan

   Misalkan $d$ adalah jarak antarpusat. Klasifikasi lengkap untuk dua lingkaran berbeda yang tidak berimpit adalah:

   Syarat jarak antarpusat	Garis singgung persekutuan	Posisi lingkaran
   $d>r_1+r_2$	$4$	terpisah di luar
   $d=r_1+r_2$	$3$	bersinggungan luar
   $\lvert r_1-r_2\rvert\lt d\lt r_1+r_2$	$2$	berpotongan di dua titik
   $d=\lvert r_1-r_2\rvert$	$1$	bersinggungan dalam
   $d\lt \lvert r_1-r_2\rvert$	$0$	satu lingkaran berada sepenuhnya di dalam lingkaran lain

   Jadi, syarat yang diminta adalah tiga baris pertama. Dua lingkaran yang berimpit, dengan $d=0$ dan $r_1=r_2$, merupakan kasus terpisah dengan tak terhingga garis singgung persekutuan.