Invers Matriks

Perkalian Matriks dengan Inversnya

Dalam himpunan bilangan real, setiap bilangan $a$ (yang bukan nol) memiliki kebalikan, yaitu bilangan $a^{-1}$, yang memenuhi sifat $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$. Konsep serupa juga berlaku pada matriks.

Jika $A$ adalah sebuah matriks persegi (misalnya, berordo $n \times n$) dan $I$ adalah matriks identitas dengan ordo yang sama, maka invers dari matriks $A$, yang dinotasikan sebagai $A^{-1}$, adalah matriks yang memenuhi sifat:

Matriks identitas $I$ adalah matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya adalah $1$ dan elemen lainnya adalah $0$. Contohnya, untuk ordo $2 \times 2$:

Matriks Nonsingular dan Singular

Tidak semua matriks persegi memiliki invers. Sebuah matriks $A$ memiliki invers jika dan hanya jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol ($\det(A) \neq 0$ atau $|A| \neq 0$).

• Matriks $A$ disebut matriks nonsingular jika $\det(A) \neq 0$. Matriks nonsingular selalu memiliki invers.
• Matriks $A$ disebut matriks singular jika $\det(A) = 0$. Matriks singular tidak memiliki invers.

Invers Matriks Ordo Dua

Untuk matriks $A$ berordo $2 \times 2$, misalkan:

Invers matriks $A$ dapat ditemukan menggunakan rumus berikut, asalkan $\det(A) \neq 0$:

Pahami setiap komponen rumus ini:

1. Determinan Matriks $A$ ($\det(A)$ atau $|A|$):

   Dihitung sebagai:

   $$|A| = ad - bc$$

2. Adjoin Matriks $A$ ($\text{Adj}(A)$):

   Diperoleh dengan menukar elemen diagonal utama dan mengubah tanda elemen diagonal lainnya:

   $$\text{Adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

Jadi, rumus lengkap untuk invers matriks ordo $2 \times 2$ adalah:

Contoh Invers Matriks Ordo Dua

Tentukan invers matriks $P$ berikut:

Penyelesaian:

Langkah 1: Identifikasi elemen-elemen matriks $P$.

Langkah 2: Hitung determinan matriks $P$.

Karena $\det(P) \neq 0$, matriks $P$ memiliki invers.

Langkah 3: Tentukan adjoin matriks $P$.

Langkah 4: Hitung invers matriks $P$.

Matriks di atas adalah $P^{-1}$.

Periksa matriks invers dengan mengalikan $P$ dan $P^{-1}$. Hasil perkalian harus sama dengan matriks identitas:

Invers Matriks Ordo Tiga

Konsep dasar untuk mencari invers matriks ordo $3 \times 3$ sama dengan matriks ordo $2 \times 2$, yaitu menggunakan rumus:

Namun, perhitungan determinan ($\det(A)$) dan adjoin ($\text{Adj}(A)$) untuk matriks $3 \times 3$ lebih kompleks.

• Determinan matriks $3 \times 3$ dapat dihitung menggunakan Metode Sarrus atau metode ekspansi kofaktor.
• Adjoin matriks $3 \times 3$ diperoleh dari transpos matriks kofaktornya.

Untuk matriks $3 \times 3$, proses dimulai dengan menghitung determinan dan adjoin. Kedua hasil tersebut kemudian dimasukkan ke rumus invers.

Menyelesaikan Sistem Linear dengan Invers

Invers matriks dapat menyelesaikan sistem persamaan linear ketika matriks koefisiennya dapat dibalik. Tuliskan sistem tersebut dalam bentuk matriks:

Pada persamaan tersebut, $A$ adalah matriks koefisien, $X$ adalah matriks variabel, dan $B$ adalah matriks konstanta. Jika $A$ memiliki invers $A^{-1}$, kalikan kedua ruas dari sebelah kiri dengan $A^{-1}$. Urutan ini harus dipertahankan karena perkalian matriks umumnya tidak komutatif:

Mengalikan kedua ruas di sebelah kiri dengan $A^{-1}$ menghasilkan $X=A^{-1}B$. Urutan perkalian harus dipertahankan karena perkalian matriks tidak komutatif.

Latihan

Diketahui kedua matriks berikut:

1. Tentukan matriks $X^{-1}$ dan $Y^{-1}$.
2. Tentukan matriks $X^{-1} + Y^{-1}$.
3. Tentukan matriks $(X+Y)^{-1}$.
4. Apakah matriks $X^{-1} + Y^{-1}$ sama dengan matriks $(X+Y)^{-1}$? Jelaskan jawabanmu.

Pembahasan Lengkap

1. Menentukan $X^{-1}$:

   $$X = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$$

   $$\begin{aligned} \det(X) &= (1)(4) - (-3)(-1) \\ &= 4 - 3 \\ &= 1 \end{aligned}$$

   $$\text{Adj}(X) = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

   $$X^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

   Menentukan $Y^{-1}$:

   $$Y = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$$

   $$\begin{aligned} \det(Y) &= (-4)(-2) - (2)(3) \\ &= 8 - 6 \\ &= 2 \end{aligned}$$

   $$\text{Adj}(Y) = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix}$$

   $$\begin{aligned} Y^{-1} &= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -3/2 & -2 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

2. Menentukan $X^{-1} + Y^{-1}$:

   $$\begin{aligned} &X^{-1} + Y^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -3/2 & -2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4-1 & 3-1 \\ 1-3/2 & 1-2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1/2 & -1 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

3. Menentukan $(X+Y)^{-1}$:

   Pertama, hitung $X+Y$:

   $$\begin{aligned} &X+Y \\ &= \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-4 & -3+2 \\ -1+3 & 4-2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

   Misalkan $Z = X+Y$. Hitung $Z^{-1}$:

   $$\begin{aligned} \det(Z) &= (-3)(2) - (-1)(2) \\ &= -6 - (-2) \\ &= -6 + 2 \\ &= -4 \end{aligned}$$

   $$\text{Adj}(Z) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}$$

   $$\begin{aligned} (X+Y)^{-1} &= Z^{-1} \\ &= \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -2/4 & -1/4 \\ 2/4 & 3/4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1/2 & -1/4 \\ 1/2 & 3/4 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

4. Perbandingan $X^{-1} + Y^{-1}$ dan $(X+Y)^{-1}$:

   Dari hasil perhitungan:

   $$X^{-1} + Y^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1/2 & -1 \end{bmatrix}$$

   $$(X+Y)^{-1} = \begin{bmatrix} -1/2 & -1/4 \\ 1/2 & 3/4 \end{bmatrix}$$

   Kedua matriks berbeda, sehingga $X^{-1} + Y^{-1} \neq (X+Y)^{-1}$. Operasi invers tidak distributif terhadap penjumlahan. Aturan yang sama berlaku pada kebalikan bilangan biasa: secara umum, $1/x+1/y\neq1/(x+y)$.