Penjumlahan Matriks

Menjumlahkan Elemen Matriks yang Seletak

Penjumlahan matriks menggabungkan dua matriks atau lebih menjadi matriks baru. Operasi ini hanya dapat dilakukan jika semua matriks yang dijumlahkan memiliki ukuran atau ordo yang sama.

Penjumlahan menghasilkan matriks baru dengan ordo yang sama. Setiap elemen diperoleh dengan menjumlahkan elemen yang letaknya sama pada matriks awal.

Definisi Formal Penjumlahan Matriks

Dua matriks, katakanlah matriks $A$ dan matriks $B$ , dapat dijumlahkan jika dan hanya jika kedua matriks tersebut memiliki ordo yang sama.

Misalkan matriks $A$ berordo $m \times n$ dengan elemen-elemen $a_{ij}$ (elemen pada baris ke- $i$ dan kolom ke- $j$ ), dan matriks $B$ juga berordo $m \times n$ dengan elemen-elemen $b_{ij}$ .

Sebut hasil penjumlahannya sebagai matriks $C$ dan tulis $C = A + B$ . Matriks $C$ juga berordo $m \times n$ , dengan elemen $c_{ij}$ yang didefinisikan oleh:

c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Untuk setiap posisi, rumus tersebut menjumlahkan elemen dari $A$ dengan elemen seletaknya dari $B$ .

Secara simbolis, $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ dan $B\in\mathbb{R}^{m\times n}$ menghasilkan $A+B\in\mathbb{R}^{m\times n}$ . Jadi, setiap elemen hasil $c_{ij}$ memiliki tepat satu elemen masukan yang seletak pada masing-masing matriks.

Cara Melakukan Penjumlahan Matriks

Untuk menjumlahkan dua matriks, ikuti langkah-langkah berikut:

Pastikan Ordo Sama: Periksa apakah kedua matriks memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Jika tidak, penjumlahan tidak dapat dilakukan.
Jumlahkan Elemen Seletak: Jumlahkan elemen-elemen yang berada pada posisi baris dan kolom yang sama dari kedua matriks.
Bentuk Matriks Hasil: Susun hasil penjumlahan elemen-elemen tersebut ke dalam matriks baru dengan ordo yang sama.

Contoh Penjumlahan Matriks

Misalkan kita memiliki dua matriks, $P$ dan $Q$ , sebagai berikut:

P = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}

Kedua matriks ini berordo $3 \times 2$ ( $3$ baris dan $2$ kolom), sehingga dapat dijumlahkan.

Maka, $P+Q$ adalah:

P+Q = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 8 & 1 \\ -2 & 9 \end{bmatrix}

Matriks di atas adalah hasil penjumlahan $P+Q$ .

Matriks yang Tidak Dapat Dijumlahkan

Kedua matriks ini berordo berbeda:

X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Matriks $X$ berordo $2 \times 2$ , sedangkan matriks $Y$ berordo $2 \times 3$ . Jumlah kolomnya berbeda, sehingga $X+Y$ tidak terdefinisi.

Sifat Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks mengikuti sifat dasar yang sama dengan penjumlahan bilangan real. Misalkan $A$ , $B$ , dan $C$ berordo sama, serta $O$ adalah matriks nol dengan ordo tersebut.

Sifat Komutatif: Urutan penjumlahan matriks tidak memengaruhi matriks hasil.

$A + B = B + A$

Artinya, menjumlahkan matriks $A$ dengan $B$ akan menghasilkan matriks yang sama dengan menjumlahkan matriks $B$ dengan $A$ .
Sifat Asosiatif: Pengelompokan dalam penjumlahan tiga matriks atau lebih tidak memengaruhi matriks hasil.

$(A + B) + C = A + (B + C)$

Artinya, kita bisa menjumlahkan $A$ dan $B$ terlebih dahulu, kemudian hasilnya dijumlahkan dengan $C$ , atau menjumlahkan $B$ dan $C$ terlebih dahulu, kemudian $A$ dijumlahkan dengan hasilnya. Hasil akhirnya akan sama.
Memiliki Elemen Identitas (Matriks Nol): Terdapat matriks nol $O$ yang bersifat sebagai elemen identitas dalam penjumlahan.

$A + O = O + A = A$

Artinya, jika suatu matriks dijumlahkan dengan matriks nol (yang seordo), hasilnya adalah matriks itu sendiri.

Matriks nol ini berperan seperti angka $0$ dalam penjumlahan bilangan.
Memiliki Invers Aditif (Lawan Suatu Matriks): Setiap matriks $A$ memiliki invers aditif, yaitu matriks $-A$ , yang jika dijumlahkan dengan $A$ akan menghasilkan matriks nol $O$ .

$A + (-A) = O$

Matriks $-A$ adalah matriks yang setiap elemennya merupakan lawan (negatif) dari elemen-elemen matriks $A$ yang seletak.

Misalnya, jika $a_{ij}$ adalah elemen dari $A$ , maka $-a_{ij}$ adalah elemen dari $-A$ .

Latihan

Soal 1

Diketahui matriks-matriks berikut:

A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix}

Hitunglah $A+B$ dan $B+A$ . Kemudian, tentukan apakah $A+C$ dapat dihitung dan berikan penjelasanmu.

Soal 2

Tentukan nilai $x, y,$ dan $z$ dari penjumlahan matriks berikut:

\begin{bmatrix} 2x & 5 \\ -1 & 3y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ z & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 3 \\ 6 & 1 \end{bmatrix}

Soal 3

Untuk matriks berikut, tentukan $-P$ sebagai invers aditif dari $P$ , lalu buktikan bahwa $P + (-P) = O$ . Simbol $O$ menyatakan matriks nol yang seordo.

P = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}

Pembahasan Lengkap

Soal 1

Diketahui matriks-matriks:

A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix}

Penjumlahan matriks $A$ dan $B$ ( $A+B$ ):

\begin{aligned} A +B &= \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} \\ &\quad{}+ \begin{bmatrix} -2 & 9 & -4 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

Menambahkan entri negatif berarti mengurangi lawannya, sehingga jumlah tiap pasangan entri menjadi:

=\begin{bmatrix}3-2&-1+9&7-4\\0+6&5-3&2+1\end{bmatrix}

Penjumlahan matriks $B$ dan $A$ ( $B+A$ ):

\begin{aligned} B +A &= \begin{bmatrix} -2 & 9 & -4 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix} \\ &\quad{}+ \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}

(Terbukti sifat komutatif: $A+B = B+A$ )

Penjumlahan matriks $A$ dan $C$ ( $A+C$ ):

Tidak dapat dihitung. Matriks $A$ berordo $2 \times 3$ , sedangkan matriks $C$ berordo $2 \times 2$ . Karena ordonya berbeda, penjumlahan $A+C$ tidak dapat dilakukan.

Soal 2

Diketahui penjumlahan matriks:

\begin{bmatrix} 2x & 5 \\ -1 & 3y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ z & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 3 \\ 6 & 1 \end{bmatrix}

Lakukan penjumlahan matriks di ruas kiri:

\begin{bmatrix} 2x+4 & 5+(-2) \\ -1+z & 3y+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 3 \\ 6 & 1 \end{bmatrix}

Berdasarkan kesamaan dua matriks, elemen-elemen yang seletak harus sama:

Untuk elemen baris $1$ , kolom $1$ : $2x+4 = 10$

2x = 10-4

Untuk elemen baris $1$ , kolom $2$ : $3 = 3$ (sudah sesuai).

Untuk elemen baris $2$ , kolom $1$ : $-1+z = 6$

z = 6+1

Untuk elemen baris $2$ , kolom $2$ : $3y+7 = 1$

3y = 1-7

Jadi, nilai $x=3$ , $y=-2$ , dan $z=7$ .

Soal 3

Matriks yang diberikan adalah:

P = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}

Invers aditif dari $P$ , yaitu $-P$ , adalah:

-P = \begin{bmatrix} -1 & -(-2) \\ -3 & -0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}

Pembuktian bahwa $P + (-P) = O$ :

P + (-P) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}

Hasilnya adalah matriks nol $O$ berordo $2 \times 2$ . Terbukti.

Menjumlahkan Elemen Matriks yang Seletak

Penjumlahan matriks menggabungkan dua matriks atau lebih menjadi matriks baru. Operasi ini hanya dapat dilakukan jika semua matriks yang dijumlahkan memiliki ukuran atau ordo yang sama.

Penjumlahan menghasilkan matriks baru dengan ordo yang sama. Setiap elemen diperoleh dengan menjumlahkan elemen yang letaknya sama pada matriks awal.

Definisi Formal Penjumlahan Matriks

Dua matriks, katakanlah matriks $A$ dan matriks $B$ , dapat dijumlahkan jika dan hanya jika kedua matriks tersebut memiliki ordo yang sama.

Misalkan matriks $A$ berordo $m \times n$ dengan elemen-elemen $a_{ij}$ (elemen pada baris ke- $i$ dan kolom ke- $j$ ), dan matriks $B$ juga berordo $m \times n$ dengan elemen-elemen $b_{ij}$ .

Sebut hasil penjumlahannya sebagai matriks $C$ dan tulis $C = A + B$ . Matriks $C$ juga berordo $m \times n$ , dengan elemen $c_{ij}$ yang didefinisikan oleh:

c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Untuk setiap posisi, rumus tersebut menjumlahkan elemen dari $A$ dengan elemen seletaknya dari $B$ .

Cara Melakukan Penjumlahan Matriks

Untuk menjumlahkan dua matriks, ikuti langkah-langkah berikut:

Pastikan Ordo Sama: Periksa apakah kedua matriks memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Jika tidak, penjumlahan tidak dapat dilakukan.
Jumlahkan Elemen Seletak: Jumlahkan elemen-elemen yang berada pada posisi baris dan kolom yang sama dari kedua matriks.
Bentuk Matriks Hasil: Susun hasil penjumlahan elemen-elemen tersebut ke dalam matriks baru dengan ordo yang sama.

Contoh Penjumlahan Matriks

Misalkan kita memiliki dua matriks, $P$ dan $Q$ , sebagai berikut:

P = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}

Kedua matriks ini berordo $3 \times 2$ ( $3$ baris dan $2$ kolom), sehingga dapat dijumlahkan.

Maka, $P+Q$ adalah:

P+Q = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 8 & 1 \\ -2 & 9 \end{bmatrix}

Matriks di atas adalah hasil penjumlahan $P+Q$ .

Matriks yang Tidak Dapat Dijumlahkan

Kedua matriks ini berordo berbeda:

X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Matriks $X$ berordo $2 \times 2$ , sedangkan matriks $Y$ berordo $2 \times 3$ . Jumlah kolomnya berbeda, sehingga $X+Y$ tidak terdefinisi.

Sifat Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks mengikuti sifat dasar yang sama dengan penjumlahan bilangan real. Misalkan $A$ , $B$ , dan $C$ berordo sama, serta $O$ adalah matriks nol dengan ordo tersebut.

Sifat Komutatif: Urutan penjumlahan matriks tidak memengaruhi matriks hasil.

$A + B = B + A$

Artinya, menjumlahkan matriks $A$ dengan $B$ akan menghasilkan matriks yang sama dengan menjumlahkan matriks $B$ dengan $A$ .
Sifat Asosiatif: Pengelompokan dalam penjumlahan tiga matriks atau lebih tidak memengaruhi matriks hasil.

$(A + B) + C = A + (B + C)$

Artinya, kita bisa menjumlahkan $A$ dan $B$ terlebih dahulu, kemudian hasilnya dijumlahkan dengan $C$ , atau menjumlahkan $B$ dan $C$ terlebih dahulu, kemudian $A$ dijumlahkan dengan hasilnya. Hasil akhirnya akan sama.
Memiliki Elemen Identitas (Matriks Nol): Terdapat matriks nol $O$ yang bersifat sebagai elemen identitas dalam penjumlahan.

$A + O = O + A = A$

Artinya, jika suatu matriks dijumlahkan dengan matriks nol (yang seordo), hasilnya adalah matriks itu sendiri.

Matriks nol ini berperan seperti angka $0$ dalam penjumlahan bilangan.
Memiliki Invers Aditif (Lawan Suatu Matriks): Setiap matriks $A$ memiliki invers aditif, yaitu matriks $-A$ , yang jika dijumlahkan dengan $A$ akan menghasilkan matriks nol $O$ .

$A + (-A) = O$

Matriks $-A$ adalah matriks yang setiap elemennya merupakan lawan (negatif) dari elemen-elemen matriks $A$ yang seletak.

Misalnya, jika $a_{ij}$ adalah elemen dari $A$ , maka $-a_{ij}$ adalah elemen dari $-A$ .

Latihan

Soal 1

Diketahui matriks-matriks berikut:

A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix}

Hitunglah $A+B$ dan $B+A$ . Kemudian, tentukan apakah $A+C$ dapat dihitung dan berikan penjelasanmu.

Soal 2

Tentukan nilai $x, y,$ dan $z$ dari penjumlahan matriks berikut:

\begin{bmatrix} 2x & 5 \\ -1 & 3y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ z & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 3 \\ 6 & 1 \end{bmatrix}

Soal 3

Untuk matriks berikut, tentukan $-P$ sebagai invers aditif dari $P$ , lalu buktikan bahwa $P + (-P) = O$ . Simbol $O$ menyatakan matriks nol yang seordo.

P = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}

Pembahasan Lengkap

Soal 1

Diketahui matriks-matriks:

A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix}

Penjumlahan matriks $A$ dan $B$ ( $A+B$ ):

\begin{aligned} A +B &= \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} \\ &\quad{}+ \begin{bmatrix} -2 & 9 & -4 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

Menambahkan entri negatif berarti mengurangi lawannya, sehingga jumlah tiap pasangan entri menjadi:

=\begin{bmatrix}3-2&-1+9&7-4\\0+6&5-3&2+1\end{bmatrix}

Penjumlahan matriks $B$ dan $A$ ( $B+A$ ):

\begin{aligned} B +A &= \begin{bmatrix} -2 & 9 & -4 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix} \\ &\quad{}+ \begin{bmatrix} 3 & -1 & 7 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}

(Terbukti sifat komutatif: $A+B = B+A$ )

Penjumlahan matriks $A$ dan $C$ ( $A+C$ ):

Tidak dapat dihitung. Matriks $A$ berordo $2 \times 3$ , sedangkan matriks $C$ berordo $2 \times 2$ . Karena ordonya berbeda, penjumlahan $A+C$ tidak dapat dilakukan.

Soal 2

Diketahui penjumlahan matriks:

\begin{bmatrix} 2x & 5 \\ -1 & 3y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ z & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 3 \\ 6 & 1 \end{bmatrix}

Lakukan penjumlahan matriks di ruas kiri:

\begin{bmatrix} 2x+4 & 5+(-2) \\ -1+z & 3y+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 3 \\ 6 & 1 \end{bmatrix}

Berdasarkan kesamaan dua matriks, elemen-elemen yang seletak harus sama:

Untuk elemen baris $1$ , kolom $1$ : $2x+4 = 10$

2x = 10-4

Untuk elemen baris $1$ , kolom $2$ : $3 = 3$ (sudah sesuai).

Untuk elemen baris $2$ , kolom $1$ : $-1+z = 6$

z = 6+1

Untuk elemen baris $2$ , kolom $2$ : $3y+7 = 1$

3y = 1-7

Jadi, nilai $x=3$ , $y=-2$ , dan $z=7$ .

Soal 3

Matriks yang diberikan adalah:

P = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}

Invers aditif dari $P$ , yaitu $-P$ , adalah:

-P = \begin{bmatrix} -1 & -(-2) \\ -3 & -0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}

Pembuktian bahwa $P + (-P) = O$ :

P + (-P) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}

Hasilnya adalah matriks nol $O$ berordo $2 \times 2$ . Terbukti.