Matriks Transpos

Menukar Baris dan Kolom Matriks

Transpos matriks diperoleh dengan menukar baris dan kolom, sehingga elemen $a_{ij}$ dari $A$ pindah ke posisi $(j,i)$ pada $A^T$ .

Transpos matriks $A$ ditulis sebagai $A^T$ atau $A'$ . Jika $A$ berordo $m \times n$ , maka $A^T$ berordo $n \times m$ .

Cara Menentukan Matriks Transpos

Untuk mendapatkan matriks transpos, ikuti langkah berikut:

Tuliskan baris pertama dari matriks asli sebagai kolom pertama dari matriks transpos.
Tuliskan baris kedua dari matriks asli sebagai kolom kedua dari matriks transpos.
Lanjutkan proses ini untuk semua baris pada matriks asli.

Matriks Umum

Misalkan kita memiliki matriks $A$ :

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Maka, transpos dari matriks $A$ adalah:

A^T = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}

Baris pertama $\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}$ menjadi kolom pertama:

\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}

Baris kedua $\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix}$ menjadi kolom kedua:

\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}

Matriks dengan Ordo Berbeda

Diberikan matriks $B$ dengan ordo $2 \times 3$ :

B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

Transpos dari matriks $B$ , yaitu $B^T$ , akan berordo $3 \times 2$ :

B^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}

Baris pertama $B$ ( $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ ) menjadi kolom pertama $B^T$ .
Baris kedua $B$ ( $\begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ ) menjadi kolom kedua $B^T$ .

Matriks Kolom menjadi Matriks Baris

Jika $C$ adalah matriks kolom:

C = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Maka transposnya, $C^T$ , adalah matriks baris:

C^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix}

Transpos dari Matriks Persegi

Diberikan matriks persegi $D$ :

D = \begin{bmatrix} -7 & 8 & 1 & 3 \\ 5 & 9 & 7 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & -6 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Maka transposnya, $D^T$ , juga merupakan matriks persegi:

D^T = \begin{bmatrix} -7 & 5 & 2 & 1 \\ 8 & 9 & 2 & -6 \\ 1 & 7 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}

Sifat Matriks Transpos

Transpos memenuhi lima identitas berikut. Coba kamu perhatikan bahwa pada perkalian, urutannya terbalik.

$(A^T)^T = A$ (Transpos dari matriks transpos adalah matriks itu sendiri)
$(A + B)^T = A^T + B^T$ (Transpos dari penjumlahan dua matriks)
$(A - B)^T = A^T - B^T$ (Transpos dari pengurangan dua matriks)
$(kA)^T = kA^T$ , dengan $k$ adalah skalar
$(AB)^T = B^T A^T$ (Transpos dari perkalian dua matriks, perhatikan urutannya terbalik)

Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut dan sebutkan jenis matriks hasilnya, misalnya matriks baris, matriks kolom, atau matriks persegi. Tukar baris dan kolom pada setiap soal, lalu bandingkan ukuran matriks asal dengan ukuran hasilnya.

Matriks $A$ :

$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \end{bmatrix}$
Matriks $B$ :

$B = \begin{bmatrix} 9 & -1 \\ 3 & 0 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$
Matriks $C$ :

$C = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 6 & -2 \\ 4 & 5 & -7 \end{bmatrix}$

Pembahasan

Transpos $A$ adalah:

$A^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{bmatrix}$

Satu-satunya baris pada $A$ berubah menjadi satu kolom. Jadi, $A^T$ berordo $3 \times 1$ dan merupakan matriks kolom.
Transpos $B$ adalah:

$B^T = \begin{bmatrix} 9 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 5 \end{bmatrix}$

Setiap baris pada $B$ menjadi kolom pada $B^T$ . Ordonya berubah dari $3 \times 2$ menjadi $2 \times 3$ , sehingga hasilnya merupakan matriks persegi panjang.
Transpos $C$ adalah:

$C^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & 6 & 5 \\ 1 & -2 & -7 \end{bmatrix}$

Dengan membaca kolom-kolom $C$ sebagai baris-baris $C^T$ , kita memperoleh matriks di atas. Ordonya tetap $3 \times 3$ , sehingga hasilnya masih berupa matriks persegi.