Metode Ekspansi Kofaktor

Menghitung Determinan melalui Kofaktor Elemen

Ekspansi kofaktor memecah perhitungan determinan matriks persegi menjadi beberapa determinan yang lebih kecil. Pilih satu baris atau kolom, kalikan setiap elemen pada baris atau kolom itu dengan kofaktor yang sesuai, lalu jumlahkan hasilnya. Metode ini dapat digunakan untuk matriks yang lebih besar dari $2 \times 2$ .

Minor Elemen Matriks

Setiap elemen $a_{ij}$ pada matriks persegi memiliki minor $M_{ij}$ . Ukuran submatriksnya selalu satu tingkat lebih kecil, sehingga minor sebuah matriks $3 \times 3$ berupa determinan matriks $2 \times 2$ .

Untuk menghitung $M_{ij}$ , coret baris ke- $i$ dan kolom ke- $j$ , lalu hitung determinan submatriks yang tersisa.

Mencari Minor

Misalkan kita memiliki matriks $A$ berordo $3 \times 3$ sebagai berikut:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

Jika kita ingin mencari minor dari elemen $a_{22}$ (yaitu $M_{22}$ ), kita hilangkan baris kedua dan kolom kedua dari matriks $A$ :

Coret baris kedua dan kolom kedua seperti berikut:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cancel{a_{12}} & a_{13} \\ \cancel{a_{21}} & \cancel{a_{22}} & \cancel{a_{23}} \\ a_{31} & \cancel{a_{32}} & a_{33} \end{bmatrix}

Matriks yang tersisa setelah pencoretan adalah:

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix}

Maka, minor $M_{22}$ adalah determinan dari matriks sisa ini:

\begin{aligned} M_{22} &= \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} \\ &= (a_{11} \times a_{33}) - (a_{13} \times a_{31}) \end{aligned}

Kofaktor Elemen Matriks

Kofaktor elemen $a_{ij}$ ditulis sebagai $k_{ij}$ atau $C_{ij}$ dan dihitung dari minor $M_{ij}$ :

k_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}

Paritas $i+j$ menentukan tanda kofaktor:

Jika hasil penjumlahan $i+j$ adalah bilangan genap, maka $(-1)^{i+j} = 1$ . Ini berarti $k_{ij} = M_{ij}$ (kofaktor sama dengan minornya).
Jika hasil penjumlahan $i+j$ adalah bilangan ganjil, maka $(-1)^{i+j} = -1$ . Ini berarti $k_{ij} = -M_{ij}$ (kofaktor adalah negatif dari minornya).

Untuk matriks $3 \times 3$ , pola tanda $(-1)^{i+j}$ adalah:

\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}

Tanda ini menunjukkan apakah kofaktor akan sama dengan minornya (tanda $+$ ) atau negatif dari minornya (tanda $-$ ).

Mencari Kofaktor

Contoh berikut melanjutkan perhitungan minor $M_{22}$ pada matriks $A$ .

Kofaktor untuk elemen $a_{22}$ adalah $k_{22}$ .

Karena $i=2$ dan $j=2$ , maka $i+j = 2+2 = 4$ (genap).

k_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = (1) M_{22} = M_{22}

Berikutnya, kita hitung kofaktor $k_{12}$ untuk elemen $a_{12}$ .

Pertama, kita cari minornya, $M_{12}$ , dengan menghilangkan baris pertama dan kolom kedua dari matriks $A$ :

\begin{aligned} M_{12} &= \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} \\ &= (a_{21} \times a_{33}) - (a_{23} \times a_{31}) \end{aligned}

Kemudian, kita hitung kofaktornya. Untuk $a_{12}$ , $i=1$ dan $j=2$ , jadi $i+j = 1+2 = 3$ (ganjil).

\begin{aligned} k_{12} &= (-1)^{1+2} M_{12} \\ &= (-1) M_{12} \\ &= -M_{12} \end{aligned}

Menghitung Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Untuk menghitung determinan matriks $A$ dengan ekspansi kofaktor, pilih satu baris atau kolom. Kalikan setiap elemen yang dipilih dengan kofaktor yang sesuai, lalu jumlahkan hasilnya. Determinan $A$ ditulis sebagai $\det(A)$ atau $|A|$ .

Rumus Ekspansi Kofaktor Sepanjang Baris ke- $i$ :

\begin{aligned} &\det(A) \\ &= |A| \\ &= \sum_{j=1}^{n} a_{ij}k_{ij} \\ &= a_{i1}k_{i1} + a_{i2}k_{i2} + \dots + a_{in}k_{in} \end{aligned}

Artinya, kita pilih baris ke- $i$ . Lalu, untuk setiap kolom $j$ pada baris tersebut, kita kalikan elemen $a_{ij}$ dengan kofaktornya $k_{ij}$ , dan jumlahkan semuanya.

Rumus Ekspansi Kofaktor Sepanjang Kolom ke- $j$ :

\begin{aligned} &\det(A) \\ &= |A| \\ &= \sum_{i=1}^{n} a_{ij}k_{ij} \\ &= a_{1j}k_{1j} + a_{2j}k_{2j} + \dots + a_{nj}k_{nj} \end{aligned}

Artinya, kita pilih kolom ke- $j$ . Lalu, untuk setiap baris $i$ pada kolom tersebut, kita kalikan elemen $a_{ij}$ dengan kofaktornya $k_{ij}$ , dan jumlahkan semuanya.

Ekspansi pada baris atau kolom mana pun menghasilkan determinan yang sama.

Jika tersedia, pilih baris atau kolom yang memuat banyak nol. Setiap nol menghilangkan satu hasil kali, sehingga jumlah suku yang perlu dihitung berkurang.

Contoh Perhitungan Determinan

Hitung determinan dari matriks $P$ berikut menggunakan metode ekspansi kofaktor:

P = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 2 \\ 5 & 9 & 4 \end{bmatrix}

Kita akan melakukan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama (yaitu, $i=1$ ).

Berdasarkan rumus, determinan $P$ adalah:

\det(P) = a_{11}k_{11} + a_{12}k_{12} + a_{13}k_{13}

Dari matriks $P$ , elemen-elemen baris pertama adalah:

$a_{11} = 1$
$a_{12} = 3$
$a_{13} = 2$

Sekarang, kita perlu menghitung kofaktor $k_{11}$ , $k_{12}$ , dan $k_{13}$ .

Menghitung $k_{11}$ ( $i=1, j=1$ , maka $i+j=2$ , genap):
$\begin{aligned} M_{11} &= \det \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 9 & 4 \end{pmatrix} \\ &= (6 \times 4) - (2 \times 9) \\ &= 24 - 18 \\ &= 6 \end{aligned}$
Menghitung $k_{12}$ ( $i=1, j=2$ , maka $i+j=3$ , ganjil):
$\begin{aligned} M_{12} &= \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \\ &= (2 \times 4) - (2 \times 5) \\ &= 8 - 10 \\ &= -2 \end{aligned}$
Menghitung $k_{13}$ ( $i=1, j=3$ , maka $i+j=4$ , genap):
$\begin{aligned} M_{13} &= \det \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 9 \end{pmatrix} \\ &= (2 \times 9) - (6 \times 5) \\ &= 18 - 30 \\ &= -12 \end{aligned}$

Setelah semua kofaktor didapatkan, kita masukkan kembali ke rumus determinan:

\det(P) = a_{11}k_{11} + a_{12}k_{12} + a_{13}k_{13}

Jadi, determinan dari matriks $P$ adalah $-12$ .