Dua Kejadian A dan B Saling Lepas

Kejadian yang Tidak Memiliki Hasil Bersama

Bayangkan satu percobaan dapat menghasilkan salah satu dari dua kejadian, tetapi tidak keduanya. Dalam peluang, kejadian dengan hubungan seperti ini disebut saling lepas, mutually exclusive, atau disjoint.

Kejadian $A$ dan kejadian $B$ disebut saling lepas jika keduanya tidak mungkin terjadi bersamaan dalam satu percobaan. Jika $A$ terjadi, $B$ tidak terjadi, begitu pula sebaliknya.

Ciri Khas Kejadian Saling Lepas

Ciri utamanya adalah irisan yang kosong: tidak ada hasil percobaan yang termasuk dalam kejadian $A$ sekaligus kejadian $B$. Sifat itu yang membuat kedua peluangnya boleh langsung dijumlahkan, karena tidak ada hasil yang terhitung dua kali.

Peluang Dua Kejadian Terjadi Bersamaan

Karena kejadian $A$ dan $B$ tidak dapat terjadi bersama, peluang irisannya adalah nol.

Kita bisa tulis peluang kejadian "$A$ dan $B$" (keduanya terjadi) sebagai:

Atau pakai simbol irisan:

Untuk kejadian saling lepas, irisannya kosong sehingga peluangnya nol.

Menghitung Peluang Gabungan untuk Kejadian Saling Lepas

Untuk menghitung peluang kejadian $A$ ATAU kejadian $B$, gunakan fakta bahwa kedua kejadian tidak memiliki hasil yang sama.

Kedua peluang dapat dijumlahkan tanpa menghitung satu hasil sebanyak dua kali.

Rumusnya adalah:

Atau pakai simbol gabungan (union):

Aturan penjumlahan khusus ini hanya berlaku untuk kejadian saling lepas. Jika kedua kejadian beririsan, peluang irisannya juga harus diperhitungkan.

Contoh Kejadian Saling Lepas

Contoh berikut menunjukkan kapan aturan penjumlahan khusus berlaku:

1. Lempar Koin:

   Satu lemparan koin menghasilkan "Angka" atau "Gambar," tetapi tidak keduanya sekaligus.

   • $P(\text{Angka}) = 1/2$
   • $P(\text{Gambar}) = 1/2$
   • Peluang muncul Angka ATAU Gambar adalah $P(\text{Angka}) + P(\text{Gambar}) = 1/2 + 1/2 = 1$ (Pasti salah satu muncul).

2. Lempar Dadu (satu kali):

   Perhatikan dua pasangan kejadian berikut:

   • Dapat angka $3$ dan dapat angka $5$ tidak bisa terjadi sekaligus. Masing-masing peluangnya $1/6$, jadi peluang dapat $3$ atau $5$ adalah $1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3$.
   • Dapat angka genap $\{2, 4, 6\}$ dan dapat angka ganjil $\{1, 3, 5\}$ juga tidak bisa terjadi sekaligus. Masing-masing peluangnya $3/6 = 1/2$, jadi peluang dapat genap atau ganjil adalah $1/2 + 1/2 = 1$.

3. Ambil Kartu (satu kali):

   Gunakan ide yang sama untuk kejadian pada kartu:

   • Dapat King dan dapat Queen adalah kejadian saling lepas. Ada $4$ King dan $4$ Queen dalam $52 \text{ kartu}$, jadi peluang dapat King atau Queen adalah $4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13$.
   • Dapat kartu merah dan dapat kartu keriting $\clubsuit$ adalah kejadian saling lepas karena kartu keriting berwarna hitam. Ada $26$ kartu merah dan $13$ kartu keriting, jadi peluang dapat merah atau keriting adalah $26/52 + 13/52 = 39/52 = 3/4$.

Latihan

Sebuah dadu adil bersisi enam dilempar satu kali. Misalkan $A=\{1,2\}$ dan $B=\{5,6\}$.

1. Tunjukkan bahwa $A$ dan $B$ saling lepas.
2. Tentukan $P(A \cup B)$.
3. Tentukan peluang bahwa kedua kejadian tidak terjadi.

Pembahasan

Kedua kejadian memiliki irisan kosong, sehingga tidak ada hasil yang sama:

Jadi, keduanya saling lepas. Setiap kejadian memuat $2$ dari $6$ hasil dadu yang sama mungkin. Aturan penjumlahan khusus memberikan

Hasil di luar $A \cup B=\{1,2,5,6\}$ adalah $\{3,4\}$. Dengan demikian,

Sebagai pemeriksaan, peluang gabungan dan peluang komplemennya berjumlah $2/3+1/3=1$.