Rumus Persamaan Kuadrat

Bagaimana Bentuk Rumus Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan dalam bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$ , dimana:

Rumus Persamaan Kuadrat

Bagaimana Bentuk Rumus Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan dalam bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$ , dimana:

$a$ adalah koefisien dari $x^2$
$b$ adalah koefisien dari $x$
$c$ adalah konstanta

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ , kita bisa menggunakan rumus:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Rumus ini akan memberikan dua nilai $x$ yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (menggunakan tanda plus)
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (menggunakan tanda minus)

Bagian $b^2 - 4ac$ disebut diskriminan dan menentukan jenis akar-akar persamaan:

Jika $b^2 - 4ac > 0$ : Dua akar real berbeda
Jika $b^2 - 4ac = 0$ : Satu akar real (akar kembar)
Jika $b^2 - 4ac < 0$ : Tidak memiliki akar real

Menurunkan Rumus Persamaan Kuadrat

Rumus persamaan kuadrat dapat diturunkan dari metode melengkapi kuadrat sempurna. Mari kita lihat bagaimana caranya:

Dimulai dari persamaan kuadrat standar:

ax^2 + bx + c = 0

Langkah $1$ : Kita bagi semua suku dengan $a$ (koefisien $x^2$ ):

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

Langkah $2$ : Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

Langkah $3$ : Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas:

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}

Langkah $4$ : Ruas kiri sekarang membentuk kuadrat sempurna:

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}

Langkah $5$ : Sederhanakan ruas kanan:

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

Langkah $6$ : Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Langkah $7$ : Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$ :

x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Sehingga kita mendapatkan rumus persamaan kuadrat:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Menggunakan Rumus Persamaan Kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus, ikuti langkah-langkah berikut:

Pastikan persamaan kuadrat dalam bentuk standar $ax^2 + bx + c = 0$
Identifikasi nilai $a$ , $b$ , dan $c$
Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Hitung nilai $x$ untuk mendapatkan akar-akar persamaan

Contoh Penerapan

Contoh $1$ : Selesaikan persamaan $x^2 + 5x + 6 = 0$

Identifikasi nilai $a = 1$ , $b = 5$ , dan $c = 6$

Substitusikan ke dalam rumus:

x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 \pm 1}{2}

Untuk $x_1$ , ambil tanda positif:

x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2

Untuk $x_2$ , ambil tanda negatif:

x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = -2$ dan $x_2 = -3$

Contoh $2$ : Selesaikan persamaan $2x^2 - 7x + 3 = 0$

Identifikasi nilai $a = 2$ , $b = -7$ , dan $c = 3$

Substitusikan ke dalam rumus:

x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}

Untuk $x_1$ , ambil tanda positif:

x_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3

Untuk $x_2$ , ambil tanda negatif:

x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = 3$ dan $x_2 = \frac{1}{2}$

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Bagian $b^2 - 4ac$ pada rumus persamaan kuadrat disebut diskriminan, biasanya dilambangkan dengan $D$ atau $\Delta$ .

Diskriminan memberikan informasi tentang jenis akar-akar persamaan kuadrat:

Jika $D > 0$ : Persamaan memiliki dua akar real berbeda
Jika $D = 0$ : Persamaan memiliki satu akar real (akar kembar)
Jika $D < 0$ : Persamaan tidak memiliki akar real (akar-akarnya bilangan kompleks)

Hubungan Antara Akar dan Koefisien

Misalkan $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ , maka:

Jumlah kedua akar: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Hasil kali kedua akar: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Membuktikan Hubungan

Dari rumus persamaan kuadrat, kita tahu bahwa:

x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \text{dan} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Jumlahkan kedua akar:

x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}

Kalikan kedua akar:

x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{b^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}

Membuat Persamaan Kuadrat Baru dari Akar yang Diketahui

Jika kita mengetahui akar-akar sebuah persamaan kuadrat, kita dapat membuat persamaan kuadrat baru. Misalkan $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah:

(x - p)(x - q) = 0

Atau dalam bentuk standar:

x^2 - (p+q)x + pq = 0

Contoh Aplikasi

Persamaan kuadrat $x^2 + 4x + 3 = 0$ memiliki akar-akar $p$ dan $q$ .

Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar $2p$ dan $2q$ .

Langkah $1$ : Temukan nilai $p + q$ dan $p \cdot q$
$p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4$
Langkah $2$ : Hitung jumlah dan hasil kali akar-akar baru
$2p + 2q = 2(p + q) = 2(-4) = -8$
Langkah $3$ : Buat persamaan kuadrat baru
$x^2 - (-8)x + 12 = 0$
Persamaan kuadrat $x^2 + 4x - 21 = 0$ memiliki akar-akar $p$ dan $q$ .

Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar dan .

Latihan

Selesaikan persamaan-persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat:

$x^2 + 5x + 6 = 0$
$2x^2 + 6x + 3 = 0$
$6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$
$\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0$
$\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$

Kunci Jawaban

Solusi persamaan kuadrat $x^2 + 5x + 6 = 0$

Identifikasi: $a = 1$ , $b = 5$ , $c = 6$
$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$
Untuk $x_1$ :

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Untuk $x_2$ :

$x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = -2$ dan $x_2 = -3$ .
Solusi persamaan kuadrat $2x^2 + 6x + 3 = 0$

Identifikasi: $a = 2$ , $b = 6$ ,
Solusi persamaan kuadrat $6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$

Identifikasi: $a = 6$ , ,
Solusi persamaan kuadrat $\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0$

Identifikasi: $a = \frac{1}{2}$ , ,
Solusi persamaan kuadrat $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$

Identifikasi: $a = \frac{2}{3}$ , ,

p \cdot q = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3

2p \cdot 2q = 4(p \cdot q) = 4 \cdot 3 = 12

\frac{1}{2p}

\frac{1}{2q}

Langkah $1$ : Temukan nilai $p + q$ dan $p \cdot q$

p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4

Langkah $2$ : Hitung jumlah dan hasil kali akar-akar baru

\frac{1}{2p} + \frac{1}{2q} = \frac{1}{2} \left(\frac{q + p}{pq}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-4}{-21} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{21} = \frac{4}{42} = \frac{2}{21}

Langkah $3$ : Buat persamaan kuadrat baru

x^2 - \frac{4}{21}x - \frac{1}{84} = 0

= \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}

= \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}

= \frac{-5 \pm 1}{2}

c = 3

x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}

Untuk $x_1$ :

x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}

Untuk $x_2$ :

x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}$ dan $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}$ .

b = 2

c = \frac{1}{6}

x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{6}}}{2 \cdot 6}

Karena diskriminan $b^2 - 4ac = 0$ , persamaan memiliki satu akar (akar ganda).

Jadi, akar persamaan adalah $x_1 = x_2 = -\frac{1}{6}$ .

b = 4

c = 6

x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Untuk $x_1$ :

x_1 = -4 + 2 = -2

Untuk $x_2$ :

x_2 = -4 - 2 = -6

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = -2$ dan $x_2 = -6$ .

b = 2

c = -12

x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-12)}}{2 \cdot \frac{2}{3}}

Untuk $x_1$ :

x_1 = \frac{3(-2 + 6)}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4} = 3

Untuk $x_2$ :

x_2 = \frac{3(-2 - 6)}{4} = \frac{3 \cdot (-8)}{4} = -6

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = 3$ dan $x_2 = -6$ .