Rumus Persamaan Kuadrat

Akar Persamaan Kuadrat dari Koefisiennya

Persamaan kuadrat berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$, dengan $a \neq 0$ dan keterangan berikut:

• $a$ adalah koefisien dari $x^2$
• $b$ adalah koefisien dari $x$
• $c$ adalah konstanta

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$, kita bisa menggunakan rumus:

Kalau kamu hanya melihat bilangan real, persamaan dengan diskriminan negatif tidak punya akar. Tapi di dalam bilangan kompleks, kedua tanda memberikan dua akar. Jika diskriminannya nol, kedua bentuk di bawah ini memberikan akar kembar yang sama, dan akar kembar itu kita hitung dua kali:

• $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (menggunakan tanda plus)
• $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (menggunakan tanda minus)

Bagian $b^2 - 4ac$ disebut diskriminan dan menentukan jenis akar-akar persamaan:

• Jika $b^2 - 4ac > 0$: Dua akar real berbeda
• Jika $b^2 - 4ac = 0$: Satu akar real (akar kembar)
• Jika $b^2 - 4ac < 0$: Tidak memiliki akar real, tetapi memiliki dua akar kompleks tidak real yang saling konjugat

Menurunkan Rumus Persamaan Kuadrat

Untuk menurunkan rumus persamaan kuadrat, lengkapi kuadrat pada bentuk umum berikut:

Langkah 1: Kita bagi semua suku dengan $a$ (koefisien $x^2$):

Langkah 2: Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

Langkah 3: Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien $x$ ke kedua ruas:

Langkah 4: Ruas kiri sekarang membentuk kuadrat sempurna:

Langkah 5: Sederhanakan ruas kanan:

Langkah 6: Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

Langkah 7: Selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$:

Sehingga kita mendapatkan rumus persamaan kuadrat:

Menggunakan Rumus Persamaan Kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus, ikuti langkah-langkah berikut:

1. Pastikan persamaan kuadrat dalam bentuk standar $ax^2 + bx + c = 0$
2. Identifikasi nilai $a$, $b$, dan $c$
3. Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
4. Hitung nilai $x$ untuk mendapatkan akar-akar persamaan

Menyelesaikan Persamaan dengan Rumus Kuadrat

Contoh 1: Selesaikan persamaan $x^2 + 5x + 6 = 0$

Identifikasi nilai $a = 1$, $b = 5$, dan $c = 6$

Substitusikan ke dalam rumus:

Untuk $x_1$, ambil tanda positif:

Untuk $x_2$, ambil tanda negatif:

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = -2$ dan $x_2 = -3$

Contoh 2: Selesaikan persamaan $2x^2 - 7x + 3 = 0$

Identifikasi nilai $a = 2$, $b = -7$, dan $c = 3$

Substitusikan ke dalam rumus:

Untuk $x_1$, ambil tanda positif:

Untuk $x_2$, ambil tanda negatif:

Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = 3$ dan $x_2 = \frac{1}{2}$

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Bagian $b^2 - 4ac$ pada rumus persamaan kuadrat disebut diskriminan, biasanya dilambangkan dengan $D$ atau $\Delta$.

Tanda diskriminan menentukan jenis akar persamaan kuadrat:

• Jika $D > 0$: Persamaan memiliki dua akar real berbeda
• Jika $D = 0$: Persamaan memiliki satu akar real (akar kembar)
• Jika $D < 0$: Persamaan tidak memiliki akar real (akar-akarnya bilangan kompleks)

Hubungan Antara Akar dan Koefisien

Jumlah dan hasil kali kedua akar bisa dibaca langsung dari koefisiennya tanpa menyelesaikan persamaannya lebih dahulu. Dengan begitu kamu mendapat cara cepat untuk memeriksa jawaban atau mencari nilai yang belum diketahui.

Misalkan $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$, maka:

1. Jumlah kedua akar: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
2. Hasil kali kedua akar: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Membuktikan Hubungan

Dari rumus persamaan kuadrat, kita tahu bahwa:

Jumlahkan kedua akar:

Kalikan kedua akar:

Membuat Persamaan Kuadrat Baru dari Akar yang Diketahui

Jika $p$ dan $q$ adalah akar yang diketahui, salah satu persamaan kuadrat monik dengan akar-akar tersebut adalah:

Atau dalam bentuk standar:

Membentuk Persamaan dari Akar yang Diubah

1. Persamaan kuadrat $x^2 + 4x + 3 = 0$ memiliki akar-akar $p$ dan $q$.

   Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar $2p$ dan $2q$.

   Langkah 1: Temukan nilai $p + q$ dan $p \cdot q$

   $$p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4$$

   $$p \cdot q = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3$$

   Langkah 2: Hitung jumlah dan hasil kali akar-akar baru

   $$2p + 2q = 2(p + q) = 2(-4) = -8$$

   $$2p \cdot 2q = 4(p \cdot q) = 4 \cdot 3 = 12$$

   Langkah 3: Buat persamaan kuadrat baru

   $$x^2 - (-8)x + 12 = 0$$

   $$x^2 + 8x + 12 = 0$$

2. Persamaan kuadrat $x^2 + 4x - 21 = 0$ memiliki akar-akar $p$ dan $q$.

   Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar $\frac{1}{2p}$ dan $\frac{1}{2q}$.

   Langkah 1: Temukan nilai $p + q$ dan $p \cdot q$

   $$p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4$$

   $$p \cdot q = \frac{c}{a} = \frac{-21}{1} = -21$$

   Langkah 2: Hitung jumlah dan hasil kali akar-akar baru

   $$\begin{aligned} \frac{1}{2p} + \frac{1}{2q} &= \frac{1}{2} \left(\frac{q + p}{pq}\right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{-4}{-21} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{21} \\ &= \frac{4}{42} \\ &= \frac{2}{21} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} \frac{1}{2p} \cdot \frac{1}{2q} &= \frac{1}{4pq} \\ &= \frac{1}{4 \cdot (-21)} \\ &= \frac{1}{-84} \\ &= -\frac{1}{84} \end{aligned}$$

   Langkah 3: Buat persamaan kuadrat baru

   $$x^2 - \frac{2}{21}x - \frac{1}{84} = 0$$

Latihan

Setiap persamaan sudah berbentuk umum, jadi baca dulu koefisiennya sebelum disubstitusikan ke rumus. Periksa nilai di dalam akar lebih dahulu untuk memperkirakan banyaknya akar real.

Selesaikan persamaan-persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat:

1. $x^2 + 5x + 6 = 0$
2. $2x^2 + 6x + 3 = 0$
3. $6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$
4. $\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0$
5. $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$

Kunci Jawaban

1. Solusi persamaan kuadrat $x^2 + 5x + 6 = 0$

   Identifikasi: $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$

   $$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$$

   $$= \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$$

   $$= \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}$$

   $$= \frac{-5 \pm 1}{2}$$

   Untuk $x_1$:

   $$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

   Untuk $x_2$:

   $$x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = -2$ dan $x_2 = -3$.

2. Solusi persamaan kuadrat $2x^2 + 6x + 3 = 0$

   Identifikasi: $a = 2$, $b = 6$, $c = 3$

   $$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$$

   $$= \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{4}$$

   $$= \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{4}$$

   $$= \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{4}$$

   $$= \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2}$$

   Untuk $x_1$:

   $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}$$

   Untuk $x_2$:

   $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}$ dan $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}$.

3. Solusi persamaan kuadrat $6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$

   Identifikasi: $a = 6$, $b = 2$, $c = \frac{1}{6}$

   $$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{6}}}{2 \cdot 6}$$

   $$= \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4}}{12}$$

   $$= \frac{-2 \pm 0}{12}$$

   $$= \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$$

   Karena diskriminan $b^2 - 4ac = 0$, persamaan memiliki satu akar (akar ganda).

   Jadi, akar persamaan adalah $x_1 = x_2 = -\frac{1}{6}$.

4. Solusi persamaan kuadrat $\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0$

   Identifikasi: $a = \frac{1}{2}$, $b = 4$, $c = 6$

   $$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6}}{2 \cdot \frac{1}{2}}$$

   $$= \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{1}$$

   $$= \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{1}$$

   $$= -4 \pm 2$$

   Untuk $x_1$:

   $$x_1 = -4 + 2 = -2$$

   Untuk $x_2$:

   $$x_2 = -4 - 2 = -6$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = -2$ dan $x_2 = -6$.

5. Solusi persamaan kuadrat $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$

   Identifikasi: $a = \frac{2}{3}$, $b = 2$, $c = -12$

   $$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-12)}}{2 \cdot \frac{2}{3}}$$

   $$= \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{4/3}$$

   $$= \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{4/3}$$

   $$= \frac{-2 \pm 6}{4/3}$$

   $$= \frac{3(-2 \pm 6)}{4}$$

   Untuk $x_1$:

   $$x_1 = \frac{3(-2 + 6)}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4} = 3$$

   Untuk $x_2$:

   $$x_2 = \frac{3(-2 - 6)}{4} = \frac{3 \cdot (-8)}{4} = -6$$

   Jadi, akar-akar persamaan adalah $x_1 = 3$ dan $x_2 = -6$.