Konsep Polinomial

Struktur Monomial

Monomial adalah koefisien yang dikalikan dengan variabel berpangkat bilangan cacah. Bandingkan beberapa bentuk aljabar berikut:

Dari bentuk-bentuk di atas, kita bisa mengelompokkannya menjadi dua:

1. Kelompok 1 (Monomial): $2x^2y$, $-8$, $1{,}24k^4$
2. Kelompok 2 (Bukan Monomial): $\sqrt[3]{p}$, $\frac{2}{m}$, $5a^{-6}$

Bentuk aljabar pada Kelompok 1 inilah yang kita sebut sebagai monomial.

Monomial

Monomial adalah suatu bilangan, suatu variabel berpangkat bilangan cacah ($0, 1, 2, 3, \dots$), atau perkalian antara bilangan dan satu atau lebih variabel berpangkat bilangan cacah.

Bedah mengapa Kelompok 1 adalah monomial dan Kelompok 2 bukan:

• Kelompok 1 (Monomial):

  • $2x^2y$:

    Perkalian bilangan ($2$) dan variabel ($x$, $y$) dengan pangkat bilangan cacah ($2$ dan $1$).

  • $-8$:

    Konstanta (bilangan saja). Atau ini sama saja dengan $-8x^0$.

  • $1{,}24k^4$:

    Perkalian bilangan $1{,}24$ dan variabel ($k$) dengan pangkat bilangan cacah ($4$).

• Kelompok 2 (Bukan Monomial):

  • $\sqrt[3]{p} = p^{1/3}$:

    Pangkat variabel $p$ bukan bilangan cacah ($1/3$).

  • $\frac{2}{m} = 2m^{-1}$:

    Pangkat variabel $m$ bukan bilangan cacah ($-1$).

  • $5a^{-6}$:

    Pangkat variabel $a$ bukan bilangan cacah ($-6$).

Pada monomial, pangkat setiap variabel harus berupa bilangan cacah. Bilangan yang mengalikan variabel, seperti $2$ pada $2x^2y$, disebut koefisien.

Definisi Polinomial

Polinomial adalah jumlah berhingga dari beberapa monomial. Satu monomial juga termasuk polinomial.

Identifikasi mana yang polinomial dan mana yang bukan:

1. $4x^3y - 3x^2$
   • Suku $4x^3y$ adalah monomial.
   • Suku $-3x^2$ adalah monomial.
   • Kesimpulan: Polinomial (pengurangan dua monomial).
2. $x + 2\sqrt{x}$
   • Suku $x$ adalah monomial.
   • Suku $2\sqrt{x} = 2x^{1/2}$ bukan monomial (pangkat bukan bilangan cacah).
   • Kesimpulan: Bukan Polinomial.
3. $2x^3 - 5x^{-2} + 1$
   • Suku $2x^3$ adalah monomial.
   • Suku $-5x^{-2}$ bukan monomial (pangkat bukan bilangan cacah).
   • Suku $1$ adalah monomial (konstanta).
   • Kesimpulan: Bukan Polinomial.

Penjumlahan dan Pengurangan dalam Polinomial

Definisi polinomial menggunakan penjumlahan monomial, sedangkan contoh 1 ditulis dengan pengurangan $4x^3y - 3x^2$. Kedua bentuk tersebut tidak bertentangan.

Ingat kembali bahwa pengurangan bisa kita pandang sebagai penjumlahan dengan bilangan negatif. Jadi, $4x^3y - 3x^2$ itu sama saja dengan $4x^3y + (-3x^2)$.

Karena $4x^3y$ dan $-3x^2$ keduanya monomial, hasil penjumlahannya tetap berupa polinomial. Itulah mengapa pengurangan antarmonomial juga menghasilkan polinomial.

Sebuah ekspresi aljabar disebut polinomial jika semua sukunya berupa monomial, sehingga setiap variabel berpangkat bilangan cacah.

Latihan

Tentukan apakah setiap ekspresi berikut merupakan polinomial dalam variabel yang disebutkan. Jelaskan aturan pangkat yang menentukan jawabanmu. Periksa pangkat setiap variabel pada setiap suku, termasuk suku yang ditulis sebagai pecahan atau akar, sebelum memutuskan.

1. $7x^4-2x+9$ dalam $x$
2. $\sqrt{x}+1$ dalam $x$
3. $\frac{3}{x^2}-5$ dalam $x$
4. $5y^2z^3-2yz+4$ dalam $y$ dan $z$

Pembahasan

Setiap langkah berikut menyebutkan syarat yang menentukan jawabannya, sehingga aturan pangkat yang memutuskan setiap bentuk tertulis tepat di sampingnya.

1. Polinomial. Pangkat $x$ adalah $4$, $1$, dan $0$.
2. Bukan polinomial. Karena $\sqrt{x}=x^{1/2}$, pangkat $1/2$ bukan bilangan cacah.
3. Bukan polinomial. Karena $\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$, pangkat $-2$ bernilai negatif.
4. Polinomial. Semua pangkat $y$ dan $z$ merupakan bilangan cacah. Sebuah suku boleh tidak menuliskan salah satu variabel karena pangkat variabel tersebut berarti $0$.