Pembagian Bersusun

Mencari Hasil Bagi dan Sisa Polinomial secara Bersusun

Pembagian polinomial secara bersusun mencari hasil bagi dan sisa dengan mengulang pola bagi, kali, kurang, lalu turunkan seperti pada pembagian bersusun bilangan bulat. Perataan kolom adalah hal yang membuat pola itu bekerja, karena hanya suku sejenis yang boleh dikurangkan satu sama lain.

Persiapan Pembagian Bersusun

Sebelum memulai pembagian, ada beberapa hal yang perlu dipersiapkan:

1. Urutkan Suku:

   Tuliskan polinomial yang dibagi ($P(x)$) dan polinomial pembagi ($Q(x)$) dalam urutan pangkat variabel menurun (dari pangkat tertinggi ke terendah).

2. Lengkapi Suku:

   Jika suatu pangkat tidak muncul, sisipkan koefisien nol sebagai placeholder. Dengan begitu, pangkat-pangkat yang sama tetap berada pada kolom yang sama saat pengurangan.

   Contoh:

   Jika $P(x) = 4x^4 + 17x^3 - 3x + 1$, suku $x^2$ tidak ada.

   Maka kita tulis menjadi $P(x) = 4x^4 + 17x^3 + 0x^2 - 3x + 1$.

3. Susun Pembagian:

   Tulis pembagian dalam format bersusun, dengan $P(x)$ (yang sudah dilengkapi) di dalam simbol bagi dan $Q(x)$ di luar.

Langkah Pembagian Bersusun

Proses pembagian dilakukan langkah demi langkah sebagai berikut:

1. Bagi: Bagi suku pertama $P(x)$ dengan suku pertama $Q(x)$. Tulis hasilnya sebagai suku pertama dari hasil bagi ($H(x)$) di atas garis.
2. Kali: Kalikan suku hasil bagi yang baru saja didapat dengan seluruh suku pembagi $Q(x)$.
3. Kurang: Tulis hasil perkalian tersebut di bawah $P(x)$, luruskan suku-suku sejenis, lalu kurangkan dari $P(x)$ untuk mendapatkan sisa sementara.
4. Turunkan: Turunkan suku berikutnya dari $P(x)$ ke samping sisa sementara untuk membentuk polinomial baru.
5. Ulangi: Ulangi langkah $1\text{-}4$ dengan polinomial baru ini, sampai derajat sisa sementara lebih kecil dari derajat pembagi $Q(x)$.

Contoh Pembagian Bersusun

Bagilah $P(x) = 4x^4 + 17x^3 - 3x + 1$ dengan $Q(x) = x^2 + 4x - 1$.

1. Persiapan:

   • $P(x) = 4x^4 + 17x^3 + 0x^2 - 3x + 1$ (lengkapi suku $x^2$)
   • $Q(x) = x^2 + 4x - 1$

2. Proses Pembagian:

   Hasil baginya adalah $4x^2+x$ dan sisanya $-2x+1$. Langkah berikut memperlihatkan setiap perkalian dan pengurangan, termasuk koefisien nol pada $x^2$.

3. Penjelasan Langkah Demi Langkah:

   Iterasi $1$:

   • Bagi: Bagi suku pertama $4x^4$ dengan suku pertama pembagi $x^2$:

     $$\frac{4x^4}{x^2} = 4x^2$$

     Tulis $4x^2$ sebagai suku pertama hasil bagi.

   • Kali: Kalikan $4x^2$ dengan pembagi $x^2 + 4x - 1$:

     $$\begin{aligned} &4x^2(x^2 + 4x - 1) \\ &= 4x^4 + 16x^3 - 4x^2 \end{aligned}$$

   • Kurang: Kurangkan hasil perkalian dari polinomial awal:

     $$\begin{aligned} &(4x^4 + 17x^3 + 0x^2) \\ &\quad{}- (4x^4 + 16x^3 - 4x^2) \\ &= x^3 + 4x^2 \end{aligned}$$

   • Turunkan: Turunkan suku berikutnya ($-3x$) untuk mendapatkan polinomial baru:

     $x^3 + 4x^2 - 3x$

   Iterasi $2$:

   • Bagi: Bagi suku pertama polinomial baru $x^3$ dengan suku pertama pembagi $x^2$:

     $$\frac{x^3}{x^2} = x$$

     Tulis $+x$ sebagai suku berikutnya hasil bagi.

   • Kali: Kalikan $x$ dengan pembagi $x^2 + 4x - 1$:

     $$x(x^2 + 4x - 1) = x^3 + 4x^2 - x$$

   • Kurang: Kurangkan hasil perkalian dari polinomial saat ini:

     $$\begin{aligned} &(x^3 + 4x^2 - 3x) \\ &\quad{}- (x^3 + 4x^2 - x) = -2x \end{aligned}$$

   • Turunkan: Turunkan suku berikutnya ($+1$) untuk mendapatkan sisa sementara:

     $$-2x + 1$$

   Berhenti: Derajat sisa ($-2x+1$, derajat $1$) lebih kecil dari derajat pembagi ($x^2+4x-1$, derajat $2$), maka pembagian berhenti.

4. Hasil:

   • Hasil Bagi ($H(x)$) adalah $4x^2 + x$.
   • Sisa ($S(x)$) adalah $-2x + 1$.

5. Penulisan dalam Algoritma Pembagian:

   Berdasarkan algoritma pembagian, kita dapat menuliskan hasilnya sebagai:

   • Bentuk Pecahan:

     $$\begin{aligned} &\frac{4x^4 + 17x^3 - 3x + 1}{x^2 + 4x - 1} \\ &= 4x^2 + x + \frac{-2x + 1}{x^2 + 4x - 1} \end{aligned}$$

   • Bentuk Perkalian:

     $$\begin{aligned} &4x^4 + 17x^3 - 3x + 1 \\ &= (x^2 + 4x - 1)(4x^2 + x) \\ &\quad{}+ (-2x + 1) \end{aligned}$$

Pembagian bersusun mencatat setiap langkah pembagian, perkalian, dan pengurangan. Susunan yang eksplisit ini berlaku untuk pembagi berderajat positif berapa pun dan memudahkan pemeriksaan kembali melalui $P(x)=Q(x)H(x)+S(x)$.

Latihan

Carilah polinomial hasil bagi $H(x)$ dan polinomial sisa $S(x)$ setelah $P(x) = x^3 - x + 9$ dibagi dengan $Q(x) = x^2 - 2x + 3$. Periksa hasilnya dengan mengalikan pembagi dengan hasil baginya, lalu menambahkan sisanya.

Nyatakan hasilnya ke dalam bentuk $P(x) = Q(x) \cdot H(x) + S(x)$.

Pembahasan

Lengkapi $P(x)$ menjadi $x^3 + 0x^2 - x + 9$.

Pertama, bagi suku-suku terdepan untuk memperoleh $x^3 \div x^2 = x$. Setelah mengalikan dan mengurangkan, suku terdepan yang baru adalah $2x^2$, sehingga suku hasil bagi berikutnya ialah $2x^2 \div x^2 = 2$. Sisa akhir $3$ berderajat lebih rendah daripada pembagi, jadi pembagian berhenti.

• Hasil Bagi: $H(x) = x + 2$

• Sisa: $S(x) = 3$

• Bentuk Algoritma Pembagian:

  $$\begin{aligned} &x^3 - x + 9 \\ &= (x^2 - 2x + 3)(x + 2) + 3 \end{aligned}$$