Modus dan Median

Ukuran Pemusatan

Ukuran pemusatan menggambarkan letak pusat suatu kumpulan data. Median dan modus menunjukkan pusat tersebut dengan cara yang berbeda. Median membagi data terurut menjadi dua bagian sama banyak, sedangkan modus menyebut nilai yang paling sering muncul.

Median sebagai Nilai Tengah

Median adalah nilai tengah dari data yang sudah diurutkan.

Cara mencari median:

1. Urutkan data dari nilai terkecil hingga terbesar.
2. Tentukan satu atau dua posisi tengahnya.

• Jika jumlah data ganjil ($n$ ganjil):

  Median adalah nilai pada urutan ke-$\frac{n+1}{2}$ setelah data diurutkan.

  Contoh dengan jumlah data ganjil:

  Misalkan nilai ulangan $5 \text{ siswa}$ adalah $7, 8, 6, 9, 7$.

  Urutkan: $6, 7, 7, 8, 9$ (ada $5$ data, $n=5$)

  Posisi tengah: $(5+1)/2 = 3$. Data urutan ke-$3$ adalah $7$.

  Jadi, $\text{Median} = 7$.

• Jika jumlah data genap ($n$ genap):

  Tuliskan $x_{(i)}$ untuk nilai pada urutan ke-$i$ setelah data diurutkan dari yang terkecil. Median adalah rata-rata nilai pada urutan $n/2$ dan $n/2+1$:

  $$\text{Median}=\frac{x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)}}{2}$$

  Contoh dengan jumlah data genap:

  Misalkan nilai ulangan $6 \text{ siswa}$ adalah $7, 8, 6, 9, 7, 10$.

  Urutkan: $6, 7, 7, 8, 9, 10$ (ada $6$ data, $n=6$)

  Posisi tengah: Urutan ke-$6/2 = 3$ dan urutan ke-$(6/2) + 1 = 4$.

  Dua angka di tengah adalah $7$ dan $8$.

  Median adalah rata-rata dari $7$ dan $8$: $(7+8)/2 = 7{,}5$.

  Jadi, median adalah $7{,}5$.

Karena ditentukan oleh posisi, median tidak banyak berubah akibat nilai yang sangat besar atau kecil di ujung data.

Modus sebagai Nilai Paling Sering Muncul

Modus adalah nilai yang paling sering muncul, yaitu nilai dengan frekuensi tertinggi.

Cara mencari modus:

1. Hitung frekuensi kemunculan setiap nilai.
2. Tentukan nilai dengan frekuensi tertinggi.

Contoh:

Data nilai ulangan:

• Nilai $6$ muncul $1 \text{ kali}$
• Nilai $7$ muncul $3 \text{ kali}$
• Nilai $8$ muncul $2 \text{ kali}$
• Nilai $9$ muncul $1 \text{ kali}$

Yang paling sering muncul adalah nilai $7$ (sebanyak $3 \text{ kali}$).

Jadi, modusnya adalah $7$.

Catatan tentang modus:

• Jika semua nilai muncul sama seringnya, tidak ada satu nilai yang paling sering muncul. Berdasarkan konvensi yang digunakan di sini, kumpulan data tersebut dinyatakan tidak memiliki modus.
• Sebuah kumpulan data bisa punya satu modus (unimodal).
• Sebuah kumpulan data bisa punya dua modus (bimodal), jika ada dua nilai dengan frekuensi tertinggi yang sama.
• Sebuah kumpulan data bisa punya lebih dari dua modus (multimodal).

Satu nilai ekstrem yang hanya muncul sekali biasanya tidak mengubah modus karena frekuensinya tetap satu.

Jangkauan menunjukkan sebaran data

Selain mengetahui pusat data melalui median dan modus, kita juga perlu melihat seberapa menyebar datanya. Jangkauan (range) memberikan satu ukuran cepat.

Rentang adalah selisih antara data terbesar dan data terkecil.

Contoh:

Data: $6, 7, 7, 8, 9, 10$

Data terbesar $= 10$

Data terkecil $= 6$

Jangkauan $= 10 - 6 = 4$

Jangkauan menunjukkan jarak antara kedua ujung data, tetapi tidak menjelaskan penyebaran nilai di antaranya.

Median dan modus menggambarkan pusat data, sedangkan jangkauan menggambarkan lebar keseluruhannya.