Dilatasi Horizontal

Mengubah Lebar Grafik melalui Masukan Fungsi

Dilatasi horizontal mengubah lebar grafik fungsi sepanjang sumbu $x$ tanpa mengubah tingginya. Grafik yang diregangkan menjadi lebih lebar, grafik yang dimampatkan menjadi lebih sempit, dan setiap titik mempertahankan nilai $y$ aslinya.

Jika kamu memiliki fungsi $f(x)$, maka dilatasi horizontal menghasilkan fungsi baru $g(x) = f(kx)$. Di sini $k \ne 0$ adalah bilangan yang mengalikan masukan, dan skala horizontal grafik baru adalah $s = \frac{1}{|k|}$.

Cara Faktor Pengali Masukan Mengubah Lebar

Untuk setiap fungsi $f(x)$ dan faktor tak nol $k$ yang mengalikan masukan, dilatasi horizontal didefinisikan sebagai:

Faktor $k$ menentukan apa yang terjadi pada lebar grafik:

• Jika $k > 1$, lebar grafik menjadi $\frac{1}{k}$ dari lebar semula
• Jika $0 < k < 1$, lebar grafik menjadi $\frac{1}{k}$ kali lebar semula
• Jika $k = 1$, grafik tidak berubah
• Jika $k < 0$, grafik juga dicerminkan terhadap sumbu $y$

Nilai $k = 0$ tidak termasuk. Jika $f(0)$ terdefinisi, semua input menghasilkan nilai $f(0)$, sehingga grafik fungsi menjadi satu garis horizontal.

Hubungan kebalikan ini penting. Faktor yang lebih besar membuat grafik lebih sempit, karena skala horizontalnya adalah $\frac{1}{|k|}$.

Visualisasi Dilatasi Horizontal

Fungsi kuadrat $f(x) = x^2$ memperlihatkan hubungan kebalikan tersebut untuk beberapa pengali masukan.

Grafik tersebut menunjukkan:

• Fungsi asli $f(x) = x^2$ sebagai referensi
• Fungsi $g(x) = (2x)^2$ memakai pengali masukan $2$, sehingga skala horizontalnya $\frac{1}{2}$
• Fungsi $h(x) = (0{,}5x)^2$ memakai pengali masukan $0{,}5$, sehingga skala horizontalnya $2$
• Semua grafik memiliki titik puncak yang sama di $(0, 0)$

Dilatasi Horizontal pada Fungsi Linear

Aturan yang sama berlaku pada fungsi linear $f(x) = x + 2$.

Ketiga garis menunjukkan:

• Fungsi asli $f(x) = x + 2$ memiliki kemiringan $1$
• Fungsi $g(x) = f(2x) = 2x + 2$ memiliki kemiringan $2$ (ditekan horizontal)
• Fungsi $h(x) = f(0{,}5x) = 0{,}5x + 2$ memiliki kemiringan $0{,}5$ (diregangkan horizontal)
• Semua garis memotong sumbu $y$ di titik yang sama $(0, 2)$

Nilai Mana yang Bergeser pada Skala Horizontal

Setelah kamu tahu apakah grafik meregang atau memampat, kamu perlu tahu nilai mana yang ikut berpindah. Dilatasi horizontal membagi setiap koordinat horizontal dengan faktor $k$ yang mengalikan masukan, jadi posisi sepanjang sumbu $x$ berubah sedangkan tingginya tetap.

Ambil titik $(a, b)$ pada grafik $f(x)$. Titik yang bersesuaian pada grafik $f(kx)$ adalah $(\frac{a}{k}, b)$. Nilai $y$ tetap $b$ karena dilatasi horizontal tidak pernah mengubah tinggi titik.

Domain ikut menyempit atau melebar bersama grafik karena domain memuat batas nilai $x$, sedangkan range tidak berubah karena tinggi grafik di setiap titik tetap. Translasi horizontal menggeser koordinat itu tanpa mengubah ukurannya.

Mengubah Laju Pertumbuhan Fungsi Eksponensial

Pada fungsi eksponensial $f(x) = 2^x$, pengali masukan mengubah seberapa cepat grafik naik.

Pada fungsi eksponensial:

• Asimtot horizontal tetap di $y = 0$ untuk kedua fungsi
• Titik potong dengan sumbu $y$ tetap sama di $(0, 1)$
• Laju pertumbuhan fungsi berubah sesuai pengali masukan

Dilatasi Horizontal dengan Pengali Masukan Negatif

Pengali masukan negatif menggabungkan penskalaan horizontal dengan pencerminan.

Ketika pengali masukan negatif:

• Grafik mengalami refleksi terhadap sumbu $y$
• Besar skala horizontalnya adalah $\frac{1}{|k|}$
• Bentuk grafik tetap sama karena fungsi kuadrat simetris

Latihan

Tiga soal berikut memakai aturan lebar grafik yang baru saja kamu pelajari. Setiap soal mengalikan masukan dengan faktor tertentu, jadi perhatikan apakah faktornya lebih besar dari satu, di antara nol dan satu, atau negatif. Kerjakan dulu tanpa melihat kunci, lalu bandingkan langkahmu dengan pembahasan di bawah.

1. Diberikan fungsi $f(x) = x^2 - 2x + 1$. Tentukan persamaan fungsi yang dihasilkan oleh pengali masukan $3$.

2. Grafik fungsi $g(x) = \sqrt{x}$ mengalami dilatasi horizontal dengan faktor masukan $\frac{1}{2}$. Tentukan persamaan fungsi hasilnya, lalu tentukan domain fungsi tersebut.

3. Fungsi $h(x) = |x - 2|$ mengalami dilatasi horizontal dengan pengali masukan $-1$. Tentukan titik puncak fungsi hasilnya.

Kunci Jawaban

Dilatasi horizontal mengganti $x$ menjadi hasil kali faktor dengan $x$, karena di situlah letak aturan lebarnya. Persamaannya lalu disederhanakan dan grafik barunya diperiksa untuk memastikan apakah grafik meregang atau memampat.

1. Dilatasi horizontal dengan pengali masukan $3$: $f'(x) = f(3x) = (3x)^2 - 2(3x) + 1 = 9x^2 - 6x + 1$

   Fungsi $f(x) = x^2 - 2x + 1$ dan Hasil Dilatasinya

   Pengali masukan $3$ menghasilkan skala horizontal $\frac{1}{3}$, sehingga parabola menjadi lebih sempit.

   KisiRotasi otomatis

2. Persamaan fungsi hasil dilatasi:

   • Dilatasi horizontal: $g'(x) = g(\frac{1}{2}x) = \sqrt{\frac{1}{2}x} = \sqrt{\frac{x}{2}}$
   • Domain setelah dilatasi: $[0, \infty)$ tetap $[0, \infty)$ karena pengali masukannya positif

   Visualisasi:

   Fungsi $g(x) = \sqrt{x}$ dan Hasil Dilatasinya

   Pengali masukan $0{,}5$ menghasilkan skala horizontal $2$, sehingga kurva akar kuadrat menjadi dua kali lebih lebar.

   KisiRotasi otomatis

3. Fungsi asli $h(x) = |x - 2|$ memiliki titik puncak di $(2, 0)$. Setelah dilatasi horizontal dengan pengali masukan $-1$: $h'(x) = |-x - 2| = |-(x + 2)| = |x + 2|$, titik puncaknya menjadi $(-2, 0)$.

   Fungsi $h(x) = |x - 2|$ dan Hasil Dilatasinya

   Pengali masukan $-1$ mencerminkan fungsi nilai mutlak terhadap sumbu $y$ tanpa mengubah skala horizontalnya.

   KisiRotasi otomatis