Refleksi Horizontal

Mencerminkan Grafik terhadap Sumbu Vertikal

Refleksi horizontal mencerminkan grafik fungsi terhadap sumbu $y$ . Seperti pada cermin vertikal, setiap titik tetap berada pada $ketinggian yang sama$ dan berpindah $sejauh jarak yang sama ke sisi berlawanan$ .

Jika kita memiliki fungsi $f(x)$ , maka refleksi horizontal menghasilkan fungsi baru $g(x) = f(-x)$ yang merupakan bayangan dari fungsi asli terhadap sumbu $y$ .

Aturan Refleksi Horizontal

Untuk setiap fungsi $f(x)$ , refleksi horizontal didefinisikan sebagai:

g(x) = f(-x)

Transformasi ini mengubah setiap titik $(x, y)$ pada grafik asli menjadi $(-x, y)$ pada grafik hasil refleksi.

Titik pada $garis cermin tetap di tempatnya$ . Untuk titik di luar garis cermin, koordinat yang tegak lurus garis cermin berubah tanda. Jika dicerminkan dua kali, titik kembali ke posisi semula.

g(-x)=f(-(-x))=f(x)

Visualisasi Refleksi Horizontal

Fungsi kuadrat $f(x) = (x - 2)^2$ memperlihatkan perpindahan setiap titik dengan jelas.

Refleksi Horizontal Fungsi Kuadrat

f(x) = (x - 2)^2

Perhatikan bagaimana grafik terpantul terhadap sumbu

y

, membentuk bayangan yang simetris.

Grafik tersebut menunjukkan:

Fungsi asli $f(x) = (x - 2)^2$ memiliki $titik puncak$ di $(2, 0)$
Fungsi hasil refleksi $g(x) = (-x - 2)^2$ memiliki titik puncak di $(-2, 0)$
Kedua grafik merupakan bayangan cermin satu sama lain terhadap sumbu $y$

Refleksi Horizontal pada Fungsi Linear

Aturan refleksi yang sama berlaku pada fungsi linear $f(x) = 2x + 3$ .

Refleksi Horizontal Fungsi Linear

f(x) = 2x + 3

Garis hasil refleksi memiliki kemiringan yang berlawanan tetapi titik potong

y

yang sama.

Kedua garis menunjukkan:

Fungsi asli $f(x) = 2x + 3$ memiliki $kemiringan$ positif $2$
Fungsi hasil refleksi $g(x) = -2x + 3$ memiliki kemiringan $-2$
Kedua garis memotong sumbu $y$ di titik yang sama $(0, 3)$

Nilai Mana yang Berubah pada Refleksi Horizontal

Refleksi horizontal membalik grafik terhadap sumbu $y$ , jadi sumbu $y$ berperan sebagai garis cermin. Setiap titik pada grafik asli mempertahankan jaraknya ke garis cermin, tetapi berpindah ke sisi yang berlawanan.

Ambil titik $(a, b)$ pada grafik $f(x)$ . Titik yang bersesuaian pada grafik $f(-x)$ adalah $(-a, b)$ . Nilai $y$ tetap $b$ , dan hanya tanda koordinat $x$ yang berbalik.

Bagian fungsi	Sebelum refleksi	Setelah refleksi
Titik $(a, b)$	Pada grafik $f(x)$	Berpindah ke $(-a, b)$
Domain $[c, d]$	Selang asli	Menjadi $[-d, -c]$
Range	Nilai keluaran asli	Tetap sama seperti semula
Titik potong sumbu $y$	Di $x = 0$	Tetap di $x = 0$

$Domain berbalik ke sisi yang berlawanan$ karena domain memuat batas nilai $x$ , dan nilai itu berubah tanda. Range tetap karena tinggi grafik di setiap titik tidak berubah. Refleksi vertikal membalik tinggi grafik dan membiarkan koordinat $x$ tetap.

Mengubah Pertumbuhan Eksponensial menjadi Peluruhan

Pada fungsi eksponensial $f(x) = 2^x$ , refleksi mengubah pertumbuhan dari kiri ke kanan menjadi peluruhan dari kiri ke kanan.

Refleksi Horizontal Fungsi Eksponensial

f(x) = 2^x

Grafik hasil refleksi menurun, tetapi tetap memiliki asimtot horizontal dan titik potong sumbu

y

yang sama.

Pada fungsi eksponensial:

$Asimtot horizontal$ tetap di $y = 0$ untuk kedua fungsi
Titik potong dengan sumbu $y$ tetap sama di $(0, 1)$
Fungsi yang semula naik menjadi turun setelah refleksi

Refleksi Horizontal pada Fungsi Akar

Fungsi akar kuadrat menunjukkan bahwa refleksi juga memindahkan domain yang terbatas.

Refleksi Horizontal Fungsi Akar

f(x) = \sqrt{x}

Kurva akar kuadrat direfleksikan menghasilkan kurva yang membuka ke arah berlawanan.

Grafik tersebut menegaskan:

Domain fungsi asli $f(x) = \sqrt{x}$ adalah $[0, \infty)$
Domain fungsi hasil refleksi $g(x) = \sqrt{-x}$ adalah $(-\infty, 0]$
Kedua kurva bertemu di $titik asal$ $(0, 0)$

Latihan

Tiga soal berikut memakai aturan cermin yang baru saja kamu pelajari. Setiap soal mengganti masukan $x$ menjadi $-x$ , jadi semua hasilnya muncul di sisi yang berlawanan dari sumbu $y$ . Kerjakan dulu tanpa melihat kunci, lalu bandingkan langkahmu dengan pembahasan di bawah.

Diberikan fungsi $f(x) = x^2 + 3x + 2$ . Tentukan persamaan fungsi hasil refleksi horizontal.
Grafik fungsi $g(x) = 3^x + 1$ direfleksikan terhadap sumbu $y$ . Tentukan persamaan fungsi hasilnya, lalu tentukan domain fungsi tersebut.
Fungsi $h(x) = |x + 2|$ mengalami refleksi horizontal. Tentukan $titik puncak$ dari fungsi hasil refleksi.

Pembahasan

$Soal 1$ . Ganti $setiap masukan$ dengan lawannya sebelum menyederhanakan:

Refleksi horizontal:

F(x) = f(-x) = (-x)^2 + 3(-x) + 2 = x^2 - 3x + 2

Fungsi

f(x) = x^2 + 3x + 2

dan Hasil Refleksinya

Pencerminan terhadap sumbu

y

memindahkan titik puncak ke sisi berlawanan, sedangkan parabola tetap terbuka ke atas.

$Soal 2$ . Tanda negatif pada masukan $tidak membatasi bilangan real$ , sehingga eksponensial tetap terdefinisi untuk semua masukan real.

Persamaan fungsi hasil refleksi:

Refleksi horizontal: $G(x) = g(-x) = 3^{-x} + 1$
Domain setelah refleksi: Tetap $(-\infty, \infty)$ karena fungsi eksponensial terdefinisi untuk semua bilangan real

Visualisasi:

Fungsi

g(x) = 3^x + 1

dan Hasil Refleksinya

Kurva eksponensial yang naik direfleksikan menjadi kurva yang turun dengan asimtot yang sama.

$Soal 3$ . Setelah pencerminan horizontal, titik puncak berada saat ekspresi di dalam nilai mutlak bernilai nol.

-x+2=0\;\Rightarrow\;x=2,\qquad H(2)=0

Nilai mutlak mencapai minimum ketika $isi nilai mutlak nol$ . Selesaikan persamaan itu untuk memperoleh koordinat mendatar titik puncak.

Fungsi asli $h(x) = |x + 2|$ memiliki titik puncak di $(-2, 0)$ . Setelah refleksi horizontal: $H(x) = |-x + 2| = |-(x - 2)| = |x - 2|$ , titik puncak menjadi $(2, 0)$ .

Fungsi

h(x) = |x + 2|

dan Hasil Refleksinya

Fungsi nilai mutlak direfleksikan terhadap sumbu

y

menghasilkan fungsi dengan titik puncak yang berlawanan.

Mencerminkan Grafik terhadap Sumbu Vertikal

Jika kita memiliki fungsi $f(x)$ , maka refleksi horizontal menghasilkan fungsi baru $g(x) = f(-x)$ yang merupakan bayangan dari fungsi asli terhadap sumbu $y$ .

Aturan Refleksi Horizontal

Untuk setiap fungsi $f(x)$ , refleksi horizontal didefinisikan sebagai:

g(x) = f(-x)

Transformasi ini mengubah setiap titik $(x, y)$ pada grafik asli menjadi $(-x, y)$ pada grafik hasil refleksi.

Titik pada $garis cermin tetap di tempatnya$ . Untuk titik di luar garis cermin, koordinat yang tegak lurus garis cermin berubah tanda. Jika dicerminkan dua kali, titik kembali ke posisi semula.

g(-x)=f(-(-x))=f(x)

Visualisasi Refleksi Horizontal

Fungsi kuadrat $f(x) = (x - 2)^2$ memperlihatkan perpindahan setiap titik dengan jelas.

Refleksi Horizontal Fungsi Kuadrat

f(x) = (x - 2)^2

Perhatikan bagaimana grafik terpantul terhadap sumbu

y

, membentuk bayangan yang simetris.

Grafik tersebut menunjukkan:

Fungsi asli $f(x) = (x - 2)^2$ memiliki $titik puncak$ di $(2, 0)$
Fungsi hasil refleksi $g(x) = (-x - 2)^2$ memiliki titik puncak di $(-2, 0)$
Kedua grafik merupakan bayangan cermin satu sama lain terhadap sumbu $y$

Refleksi Horizontal pada Fungsi Linear

Aturan refleksi yang sama berlaku pada fungsi linear $f(x) = 2x + 3$ .

Refleksi Horizontal Fungsi Linear

f(x) = 2x + 3

Garis hasil refleksi memiliki kemiringan yang berlawanan tetapi titik potong

y

yang sama.

Kedua garis menunjukkan:

Fungsi asli $f(x) = 2x + 3$ memiliki $kemiringan$ positif $2$
Fungsi hasil refleksi $g(x) = -2x + 3$ memiliki kemiringan $-2$
Kedua garis memotong sumbu $y$ di titik yang sama $(0, 3)$

Nilai Mana yang Berubah pada Refleksi Horizontal

Ambil titik $(a, b)$ pada grafik $f(x)$ . Titik yang bersesuaian pada grafik $f(-x)$ adalah $(-a, b)$ . Nilai $y$ tetap $b$ , dan hanya tanda koordinat $x$ yang berbalik.

Bagian fungsi	Sebelum refleksi	Setelah refleksi
Titik $(a, b)$	Pada grafik $f(x)$	Berpindah ke $(-a, b)$
Domain $[c, d]$	Selang asli	Menjadi $[-d, -c]$
Range	Nilai keluaran asli	Tetap sama seperti semula
Titik potong sumbu $y$	Di $x = 0$	Tetap di $x = 0$

Mengubah Pertumbuhan Eksponensial menjadi Peluruhan

Pada fungsi eksponensial $f(x) = 2^x$ , refleksi mengubah pertumbuhan dari kiri ke kanan menjadi peluruhan dari kiri ke kanan.

Refleksi Horizontal Fungsi Eksponensial

f(x) = 2^x

Grafik hasil refleksi menurun, tetapi tetap memiliki asimtot horizontal dan titik potong sumbu

y

yang sama.

Pada fungsi eksponensial:

$Asimtot horizontal$ tetap di $y = 0$ untuk kedua fungsi
Titik potong dengan sumbu $y$ tetap sama di $(0, 1)$
Fungsi yang semula naik menjadi turun setelah refleksi

Refleksi Horizontal pada Fungsi Akar

Fungsi akar kuadrat menunjukkan bahwa refleksi juga memindahkan domain yang terbatas.

Refleksi Horizontal Fungsi Akar

f(x) = \sqrt{x}

Kurva akar kuadrat direfleksikan menghasilkan kurva yang membuka ke arah berlawanan.

Grafik tersebut menegaskan:

Domain fungsi asli $f(x) = \sqrt{x}$ adalah $[0, \infty)$
Domain fungsi hasil refleksi $g(x) = \sqrt{-x}$ adalah $(-\infty, 0]$
Kedua kurva bertemu di $titik asal$ $(0, 0)$

Latihan

Diberikan fungsi $f(x) = x^2 + 3x + 2$ . Tentukan persamaan fungsi hasil refleksi horizontal.
Grafik fungsi $g(x) = 3^x + 1$ direfleksikan terhadap sumbu $y$ . Tentukan persamaan fungsi hasilnya, lalu tentukan domain fungsi tersebut.
Fungsi $h(x) = |x + 2|$ mengalami refleksi horizontal. Tentukan $titik puncak$ dari fungsi hasil refleksi.

Pembahasan

$Soal 1$ . Ganti $setiap masukan$ dengan lawannya sebelum menyederhanakan:

Refleksi horizontal:

F(x) = f(-x) = (-x)^2 + 3(-x) + 2 = x^2 - 3x + 2

Fungsi

f(x) = x^2 + 3x + 2

dan Hasil Refleksinya

Pencerminan terhadap sumbu

y

memindahkan titik puncak ke sisi berlawanan, sedangkan parabola tetap terbuka ke atas.

$Soal 2$ . Tanda negatif pada masukan $tidak membatasi bilangan real$ , sehingga eksponensial tetap terdefinisi untuk semua masukan real.

Persamaan fungsi hasil refleksi:

Refleksi horizontal: $G(x) = g(-x) = 3^{-x} + 1$
Domain setelah refleksi: Tetap $(-\infty, \infty)$ karena fungsi eksponensial terdefinisi untuk semua bilangan real

Visualisasi:

Fungsi

g(x) = 3^x + 1

dan Hasil Refleksinya

Kurva eksponensial yang naik direfleksikan menjadi kurva yang turun dengan asimtot yang sama.

$Soal 3$ . Setelah pencerminan horizontal, titik puncak berada saat ekspresi di dalam nilai mutlak bernilai nol.

-x+2=0\;\Rightarrow\;x=2,\qquad H(2)=0

Nilai mutlak mencapai minimum ketika $isi nilai mutlak nol$ . Selesaikan persamaan itu untuk memperoleh koordinat mendatar titik puncak.

Fungsi asli $h(x) = |x + 2|$ memiliki titik puncak di $(-2, 0)$ . Setelah refleksi horizontal: $H(x) = |-x + 2| = |-(x - 2)| = |x - 2|$ , titik puncak menjadi $(2, 0)$ .

Fungsi

h(x) = |x + 2|

dan Hasil Refleksinya

Fungsi nilai mutlak direfleksikan terhadap sumbu

y

menghasilkan fungsi dengan titik puncak yang berlawanan.